Apéndice 1

Notación exponencial y cifras significativas Notación exponencial A veces es necesario utilizar números que, por ser extremadamente grandes o pequeños, se escriben con muchos ceros. Por ejemplo: la distancia de la Tierra al Sol es 149.000.000.000 metros, y la masa del protón vale 0,00000000000000000000000000166 kg. Si tuviéramos que operar con estos números escritos de esta manera tendríamos dos problemas serios: por un lado que es muy fácil cometer errores en la cantidad de ceros que se escriben, y por otro que las calculadoras comunes no admiten tantas cifras. Estos inconvenientes se solucionan fácilmente reemplazando todo el conjunto de ceros a la izquierda o a la derecha, por la correspondiente multiplicación o división por potencias de diez. Para esto sólo hay que recordar que: 1 0 0 0 . . . 0 = 10n n ceros

0,0 0 . . . 0 1 = 10-n n ceros

0,0 0 . . . 0 1 = 1 n 10 n ceros

Esto se llama “notación exponencial”, o “notación científica”. Los mismos ejemplos con esta notación (se muestran varias posibilidades equivalentes): Distancia de la Tierra al Sol: 149×109 m = 1,49×1011 m 149×109 m = 0,149×1012 m 149×109 m = 149×106 km Masa del protón: 1,66×10-27 kg = 0,166×10-26 kg 1,66×10-27 kg = 166×10-29 kg

Cifras significativas Cuando un número expresa el resultado de una medición está afectado de cierta incerteza experimental, que depende de muchos factores tales como: la calidad del instrumento de medición, el cuidado y la pericia del operador que realiza la medida o lectura del instrumento, entre otros. Por eso, el número que expresa el re-

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Mecánica Básica

sultado de una medición o experimento puede tener algunas cifras que el experimentador juzga que son muy seguras, otras que son dudosas, y algunas otras que sabe que no tienen ningún sentido (por ejemplo, porque el procedimiento terminaba con un cálculo y el visor de una calculadora tenía 20 decimales). Se denominan cifras significativas a aquellas que tienen realmente algún significado experimental, o sea, las que el operador juzga seguras más una que se puede estimar con cierto grado de aproximación. Por ejemplo: al medir un objeto con una regla graduada al milímetro, podemos obtener 23,7 cm. En este caso, hemos expresado el resultado con tres cifras significativas, y no estamos afirmando que la cuarta cifra debería ser un cero, ni que no debería serlo. Con la misma regla podríamos haber estimado una cifra significativa más, y decir, por ejemplo, que el objeto mide 23,72 cm. Si en cambio decimos que el resultado de la medición es 23,70 cm, estamos anunciando que vimos que el extremo del objeto llegaba exactamente hasta la 7ª marca después del 23. En este caso el cero es la cuarta cifra significativa, y si bien matemáticamente el número 23,7 es exactamente igual al 23,70, ambos no son equivalentes como indicativos del resultado de una medición.

En la calculadora científica: Apretar la tecla “exp” seguida del exponente, luego de ingresar la parte numérica. En el visor a veces aparece la letra e, reemplazando al número 10. Así, por ejemplo la masa del protón se ingresaría apretando sucesivamente: 1

,

6

6

exp +/ -

2

7

El visor mostrará: 1,66e(-27), lo que significa 1,66 multiplicado por 10-27. • Ejemplo 1) Utilizando potencias de 10, exprese una masa de 12.583 kg con tres cifras significativas de dos maneras diferentes. 2) Eligiendo el prefijo adecuado, exprese correctaReglas prácticas para expresar correctamente resultados experimente esta masa con tres cifras significativas, sin mentales, escribiendo sólo las cifras significativas: utilizar potencias de 10. 1) No se deben agregar ceros a la derecha de la coma decimal sin justificación. Ejemplo: una persona se pesa y lee en la escala de la balanza 82,7 kg. • Desarrollo Esta lectura tiene tres cifras significativas, y no debe escribirse como 82,70 1) Utilizar tres cifras significativas significa que hay ni 82,700, ya que estos ceros no han sido leídos, y aunque lo hubieran que prescindir de las dos últimas, en este caso resido no tendrían significado porque cambiarían en cuanto la persona inemplazándolas por potencias de 10, y redondeando giriera un poco de agua, o la perdiera con la transpiración, o entregara el 5 a 6, porque la primera cifra eliminada es un 8. unas monedas que tenía en su bolsillo en el momento de pesarse. De manera que podemos escribir, por ejemplo, Si se desea expresar este valor en gramos (se lo debe multiplicar por 1.000) 2 126×10 kg. Y sobre esto tomado como base, podelo correcto no es decir 82.700 gramos, sino que, recurriendo a la notación mos dividir el 126 por cualquier potencia positiva exponencial puede escribirse: de 10, corriéndole la coma hacia la izquierda, y 82,7×103 gramos , o bien: 827×102 gramos , agregar esas potencias en el factor de la derecha, o bien: 0,827×105 gramos, etc. por ejemplo: 0,126×105 kg. 2) No se deben escribir todas las cifras que aparecen en el visor de la calculadora. 2) Tenemos que buscar prefijos que indiquen más Ejemplo: si para alguna finalidad cualquiera, a la persona del ejemplo de 102 kg, por ejemplo, Mg, o Gg (dado que no poanterior le dicen que averigüe la tercera parte de su peso, al dividir 82,7 demos superponer prefijos, hay que colocarle prepor 3 la calculadora indicará: 27,56666666666666… fijos al gramo, y no al kilogramo). En este caso el número deberá limitarse a las cifras con significado, que Dos posibilidades serían entonces: 12,6 Mg, ó son tres: 27,6 kg (la última cifra se redondea al valor más próximo). 0,0126 Gg.

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