Gegeben sei die 2pi-periodische Funktion f im obigen Bild mit wählbarem Parameter a > 0. Nur für Koeffizienten mit ungeraden Indizes sind von Null verschieden. Sie errechnen für k ≥ 1 zu:

Schreiben Sie ein function-file, welches nach Erhalt der Eingabegrößen a und n die Fourierapproximation fn (In blauer Farbe) zusammen mit f selbst (In roter Farbe) in einer Graphik darstellt. Die Graphik soll enthalten: a. Die x- und y-Achse mit gleichlautender Beschriftung unmittelbar an den Achsen. Je nach Wahl von a soll sich die y-Achse in ihrer erforderlichen Länge sowie die Lage der Beschriftung automatisch anpassen (In schwarz). b. Einen Titel mit Angabe von a (Signalsteigungswert) und n (Ordnung der Approximation). c. Eine Legende ohne Rahmen, welche f und fn anhand der Farbe ausweist. d. Ein "Label" für die x-Achse unterhalb des Anzeigefensters z.B. mit Eintrag "x". e. Ein "Label" für die y-Achse links des Anzeigefensters z.B. mit Eintrag " fn(x) und f(x)". Testen Sie die Ausgabe für unterschiedliche a und n (Ergebnis als Kommentar angeben).

Gegeben ist die Funktion: f(x,y) = x4 - 2*x2*y+x2+y2-2*x+1 a. Man erstelle einen Contour Plot von f im Bereich -2 ≤ x ≤ 2, -3 ≤ y ≤ 5 (Schrittweite jeweils 0.1) und kennzeichne einige ausgewählte Niveaulinien mit ihren Werten. b. Man implementiere das steepest descent Verfahren aus der Vorlesung und verwende es mit den Einstellungen x0=(-1.0,4.0) (Startwert), e=10-4 (Konvergenzschranke) und nMax=200 (Maximal zugelassene Anzahl an Iterationen), um das Minimum von f zu finden. An welcher Stelle wird es angenommen, wie groß ist sein Wert und nach wie vielen Iterationen wurde Konvergenz erreicht? c. Die Abstiegsfolge soll im Contour Plot von f eingezeichnet werden. d. Das steepest descent Verfahren aus der Vorlesung verwendet zur Erzeugung der Abstiegsfolge eine for Schleife. Man programmiere das Verfahren mit einer while Schleife, so dass die gleichen Abbruchkriterien erfüllt werden. Man teste das Ergebnis mit der Eingabe aus Teil b.

Alternativ: a. … b. Man implementiere das Hooke Jeeves Verfahren aus der Vorlesung und verwende es mit den Einstellungen x0=(-1.0,4.0) (Startwert), e=10-4 (Konvergenzschranke) und nMax=200 (Maximal zugelassene Anzahl an Iterationen) sowie der Schrittweite h=0.3, um das Minimum von f zu finden. An welcher Stelle wird es angenommen, wie groß ist sein Wert und nach wie vielen Iterationen wurde Konvergenz erreicht? c. Die Abstiegsfolge soll im Contour Plot von f eingezeichnet werden. d. Man schreibe eine Schleife zur Variation der Schrittweite h in Schritten von 0.1 von h=0.1 bis h=1.0 und rufe für jedes h die function HookeJeevesVerfahren auf (Alle Einstellungen bist auf h wie in b). Ausgegeben werden sollen jeweils h und die zugehörige Anzahl benötigter Iterationen. Bei welchem h ist die Konvergenz am schnellsten?