Bergedorfer Unterrichtsideen
Brigitte Penzenstadler
Mathetraining 9./10. Klasse
in 3 Kompetenzstufen – 9./10. Klasse
Band 1: Prozent- und Zinsrechnen, Potenzen und Wurzeln, Trigonometrie
Brigitte Penzenstadler
Mathetraining in 3 Kompetenzstufen Band 1: Prozent- und Zinsrechnen, Potenzen und Wurzeln, Trigonometrie 9./10. Klasse
Die Autorin:
Brigitte Penzenstadler studierte Lehramt an der Universität Passau und unterrichtet an einer Mittelschule.
© 2015 Persen Verlag, Hamburg AAP Lehrerfachverlage GmbH Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Sind Internetadressen in diesem Werk angegeben, wurden diese vom Verlag sorgfältig geprüft. Da wir auf die externen Seiten weder inhaltliche noch gestalterische Einflussmöglichkeiten haben, können wir nicht garantieren, dass die Inhalte zu einem späteren Zeitpunkt noch dieselben sind wie zum Zeitpunkt der Drucklegung. Der Persen Verlag übernimmt deshalb keine Gewähr für die Aktualität und den Inhalt dieser Internetseiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind, und schließt jegliche Haftung aus. Titelgrafik: Oliver Wetterauer, Stuttgart Satz: Graph & Glyphe ISBN 978-3-403-53479-2 www.persen.de
Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I Prozent- und Zinsrechnen Kompetenzstufe A Prozentwert gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Prozentsatz gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Prozentwert in Schaubildern darstellen . . . . . . . . . . . . 7 Grundwert gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Prozentrechnen gemischt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Formeln der Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Zinsen berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Kapital gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Zinssatz berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Zeit gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Zinsrechnen allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Kompetenzstufe B Prozentwert gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prozentsatz gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prozentwert in Schaubildern darstellen . . . . . . . . . . . Grundwert gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prozentrechnen gemischt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formeln der Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zinsen berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapital gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zinssatz berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeit gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zinsrechnen allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Kompetenzstufe C Prozentwert gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prozentsatz gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prozentwert in Schaubildern darstellen . . . . . . . . . . . Grundwert gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prozentrechnen gemischt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formeln der Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zinsen berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapital gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zinssatz berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeit gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zinsrechnen allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
II Potenzen und Wurzeln 38 39 40 41 42 43 44
Kompetenzstufe B Zehnerpotenzen mit positiver Hochzahl . . . . . . . . . . . Zehnerpotenzen mit negativer Hochzahl . . . . . . . . . . . Mit Potenzen rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzen potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadrat- und Kubikwurzeln berechnen . . . . . . . . . . . .
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining in 3 Kompetenzstufen – 9./10. Klasse – Band 1 © Persen Verlag
Zehnerpotenzen mit positiver Hochzahl . . . . . . . . . . . Zehnerpotenzen mit negativer Hochzahl . . . . . . . . . . . Mit Potenzen rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzen potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadrat- und Kubikwurzeln berechnen . . . . . . . . . . . .
52 53 54 55 56 57 58
III Trigonometrie Kompetenzstufe A Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . .
59 60 61 62
Kompetenzstufe B Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . .
63 64 65 66
Kompetenzstufe C Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . .
67 68 69 70
IV Knobelspaß Kompetenzstufe A Verdrehte Würfelaugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ansichtssache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spiegelverkehrte Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wer hat an der Uhr gedreht? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sparfüchse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alles Quadratsache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riesenhafte Stifte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0815 – ganz einfach? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71 72 73 74 75 76 77 78
Kompetenzstufe B
Kompetenzstufe A Zehnerpotenzen mit positiver Hochzahl . . . . . . . . . . . Zehnerpotenzen mit negativer Hochzahl . . . . . . . . . . . Mit Potenzen rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzen potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadrat- und Kubikwurzeln berechnen . . . . . . . . . . . .
Kompetenzstufe C
45 46 47 48 49 50 51
Verdrehte Würfelaugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ansichtssache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spiegelverkehrte Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wer hat an der Uhr gedreht? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sparfüchse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alles Quadratsache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riesenhafte Stifte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0815 – ganz einfach? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79 80 81 82 83 84 85 86
Kompetenzstufe C Verdrehte Würfelaugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ansichtssache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spiegelverkehrte Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wer hat an der Uhr gedreht? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sparfüchse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alles Quadratsache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riesenhafte Stifte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0815 – ganz einfach? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87 88 89 90 91 92 93 94
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Vorwort Liebe Kolleginnen und Kollegen, sicher rechnen zu können, gehört zu den elementaren Fähigkeiten und bildet eine wichtige Basis für den schulischen sowie beruflichen Erfolg. Durch regelmäßiges, planmäßiges Training werden mathematische Fertigkeiten sukzessiv und nachhaltig gefestigt. Im vorliegenden Werk finden Sie Aufgaben, hauptsächlich als Vorbereitung für die Abschlussprüfungen der 9. und 10. Jahrgangsstufe, in drei verschiedenen Schwierigkeitsstufen, die der Heterogenität der Schülerinnen und Schüler Rechnung tragen und diese entsprechend ihrer bereits vorhandenen Kompetenzen fördern. Im grundlegenden Niveau (Kompetenzstufe A) steht durch kleinschrittiges Vorgehen und abwechslungsreiche Übungsaufgaben die Vermittlung von Basiskompetenzen im Vordergrund. Dadurch erhalten auch Leistungsschwächere die Möglichkeit, bessere Ergebnisse zu erzielen. Schülerinnen und Schüler, die grundlegende Aufgaben bereits eigenständig lösen können, finden im qualifizierenden Niveau (Kompetenzstufe B) eine Vielzahl von motivierenden Anregungen. Die Aufgaben eignen sich auch hervorragend für die Vorbereitung auf die Abschlussprüfungen. Das weiterführende Niveau (Kompetenzstufe C) dagegen bietet Leistungsstarken die Gelegenheit, ihre Kompetenzen weiterhin zu festigen und zu vertiefen. Auf diese Weise werden die Stärken Ihrer Schülerinnen und Schüler entwickelt bzw. deren Schwächen reduziert. Die zahlreichen differenzierten Übungsaufgaben, die sämtliche wichtigen Bereiche der Mathematik in der 9. und 10. Jahrgangsstufe abdecken, tragen dazu bei, die mathematischen Fertigkeiten zu optimieren. Durch die wechselnden Aufgabenformen und durch die Möglichkeit der Selbstkontrolle ist eine gezielte Förderung – auch im Klassenverband – ohne Mehraufwand von Seiten der Lehrkraft möglich. Die direkt einsetzbaren, lehrwerksunabhängigen Kopiervorlagen aktivieren das Vorwissen, verbessern die mathematischen Kompetenzen und können weitgehend ohne unmittelbare Hilfe bearbeitet werden. Außerdem wird Wert auf den Spaß am Umgang mit der Mathematik gelegt und somit die Lernbereitschaft gefördert. Die ausführlichen Lösungsblätter direkt im Anschluss an die Aufgaben unterstützen Sie bei der täglichen Unterrichtsvorbereitung. Ich hoffe, mithilfe des vorliegenden Buches, die mathematischen Kompetenzen Ihrer Schülerinnen und Schüler auch im Hinblick auf die Abschlussprüfungen zu trainieren und Sie zu weiteren Ideen anzuregen. Viel Spaß und Erfolg beim Ausprobieren.
Brigitte Penzenstadler
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Brigitte Penzenstadler: Mathetraining in 3 Kompetenzstufen – 9./10. Klasse – Band 1 © Persen Verlag
A
Prozent- und Zinsrechnen
Prozentwert gesucht 1 3750 Zuschauer verfolgen ein Fußballturnier. 60 % der Zuschauer sind männlich. Wie viele Männer sind im Stadion?
2 Auf einem Parkplatz stehen 450 Fahrzeuge. 86 % davon sind Pkws. Wie viele Pkws stehen auf dem Parkplatz?
3 15 % aller 320 Schülerinnen und Schüler der Schule Lernbrunn bevorzugen vegetarische Gerichte. Wie viele Kinder sind das?
4 In einer Losbox sind 75 % aller Lose Nieten. Es befinden sich insgesamt 220 Lose in der Box. Wie viele Nieten sind dabei?
Lösungen: 2250 165 48 387
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A
Prozent- und Zinsrechnen
Prozentsatz gesucht
1 500 g Sojabohnen enthalten 210 g Eiweiß. Wie viel Prozent beträgt der Eiweißgehalt der Sojabohnen?
2 Wegen eines kleinen Lackschadens wird auf einen MP3-Player ein Nachlass von 6,75 € gewährt. Der MP3-Player kostete ursprünglich 45 €. Um wie viel Prozent ist er billiger?
3 Von 276 Schülerinnen und Schülern einer Grundschule haben 207 Kinder das Sportabzeichen geschafft. Wie viel Prozent waren dies?
4 Herr Geiz zahlte 50 € weniger für einen 250 € teuren Tablet-PC. Um wie viel % war der Tablet-PC billiger?
5 Florian hat in einem 80 Wörter umfassenden Text 12 Wörter fehlerhaft geschrieben. Wie viel Prozent hatte er falsch?
Lösungen: 15 15 20 42 75
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A
Prozent- und Zinsrechnen
Prozentwert in Schaubildern darstellen Balkendiagramm: 100 % = 10 cm 10 % = 1 cm 1 % = 1 mm
Kreisdiagramm:
10 %
10 cm = 100 % 36° = 10 %
100 % = 360°,6 10 % = 36°,6 1 % = 3,6°
Ein Gebrauchtwagenhändler hat 360 Fahrzeuge im Angebot. 30 % sind Kleinwagen, 60 % sind Mittelklassewagen und der Rest sind Luxuswagen. Stelle die Verteilung der Fahrzeuge in einem Balkendiagramm und in einem Kreisdiagramm dar.
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A
Prozent- und Zinsrechnen
Grundwert gesucht
1 Beim Kauf einer Stereoanlage darf Uwe 2 % Skonto (Preisnachlass) abziehen. Das sind 3,50 €. Wie viel kostete die Stereoanlage ursprünglich?
2 In einem Schuhgeschäft wurden zum Ende der Sommersaison alle Schuhe um 25 % reduziert. Mia hat so 35 € gespart. Wie viel hätte das Paar Schuhe vorher gekostet?
3 Da Herr Maier eine Handwerkerrechnung sofort bezahlt hat, durfte er 3,30 € abziehen. Das sind 3 %. Wie hoch war der Rechungsbetrag?
4 60 % der Schüler einer 9. Klasse machten den Tanzkurs. Das waren 18 Schüler. Wie viele Schüler besuchen die 9. Klasse?
5 Frau Bunt zahlt monatlich 500 € Miete für ihre Wohnung. Das sind 25 % ihres Verdienstes. Wie viel verdient Frau Bunt im Monat?
Lösungen: 30 110 140 175 2000
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A
Prozent- und Zinsrechnen
Prozentrechnen gemischt 1 An einer Grundschule wurden die Schüler der drei 3. Klassen befragt, ob sie ein Mobiltelefon besitzen. Das Ergebnis lautete folgendermaßen: Klasse Klassenstärke Anzahl der Schüler mit Handy Anzahl der Schüler mit Handy in %
3a 3b 3c
11 25 24
44 56
15
a) Berechne die fehlenden Werte!
b) 4 Schüler von allen Handybesitzern der 3. Klassen haben sogar ein Smartphone. Wie viel % sind das?
2 Sandra möchte sich ein neues Fahrrad für 840 € kaufen. Da sie nicht so viel Geld gespart hat, zahlt Sandra 66 € an. Den Rest bezahlt sie in 15 Monatsraten zu je 60 €.
a) Was kostet das Fahrrad beim Ratenkauf?
b) Um wie viel Prozent wurde das Fahrrad teurer?
Lösungen: 10 14 15 25 62,5
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966
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A
Prozent- und Zinsrechnen
Formeln der Zinsrechnung Vervollständige die Tabelle. Ordne die Formeln richtig in die Tabelle ein.
Jahreszins
Monatszinsen (t = Monat)
Tageszinsen (t = Tage)
Zinsen (Z)
Kapital (K)
Zinssatz (p)
Zeit (t)
p = Z • 100
Z= K•p
K = Z • 100 • 12
K = Z • 100
p = Z • 100 • 360
t = Z • 100 • 12
t = 1 Jahr
K = Z • 100 • 360
Z= K•p•t
Z= K•p•t
t = Z • 100 • 360
p = Z • 100 • 12
K
p
100 • 12
10
100
p • t
K • t
p • t
K•p
K•p
100 • 360
K • t
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A
Prozent- und Zinsrechnen
Zinsen berechnen
1 Frau Gruber leiht sich für den Kauf eines Fahrrades 1500 € bei einem Kreditinstitut zu einem Zinssatz von 12,5 %. Wie viel Zinsen muss sie nach einem Jahr zahlen?
2 Herr Spar bekommt für sein Guthaben von 13 000 € einen Zinssatz von 2,5 %. a) Wie viel Zinsen bekommt er nach einem Jahr?
b) Welches Guthaben hat er nach einem Jahr inklusive der Zinsen?
3 Herr Frisch leiht sich 11 500 € bei seiner Bank, um einen Neuwagen zu finanzieren. Er muss den Betrag mit 15 % Zinsen nach einem Jahr zurückzahlen. a) Wie hoch sind die Zinsen?
b) Welchen Gesamtbetrag muss Herr Frisch zurückbezahlen?
4 Mario hat von seiner Oma ein Sparbuch mit 2300 € bekommen. Die Bank gewährt ihm einen jährlichen Zinssatz von 1,75 %. a) Wie viel Zinsen erhält Mario jährlich?
b) Mario lässt die Zinsen auf dem Sparbuch. Wie viel Geld hat er nach einem Jahr darauf?
Lösungen: 40,25
187,50
325
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1725
2340,25
13225
13325
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A
Prozent- und Zinsrechnen
Kapital gesucht
1 Am Ende des Jahres erhält Julia 75 € Zinsen bei einem Zinssatz von 3 %. Welchen Betrag hatte Julia zu Jahresbeginn?
2 Frau Wenig hat ein Sparguthaben, das zu 3,5 % verzinst wird. Am Ende des Jahres bekommt sie 245 € gutgeschrieben. Wie hoch war ihr Sparguthaben?
3 Herr Kurz hat einen Kredit mit einem Zinssatz von 13 % aufgenommen. Er muss 1170 € Zinsen im Jahr zahlen. Wie viel Geld hat Herr Kurz von der Bank geliehen?
4 Max bekommt nach einem Jahr 60 € an Zinsen. Berechne sein Sparguthaben, wenn der Zinssatz 1,2 % beträgt.
5 Elke hat bei einem Zinssatz von 12,5 % im ersten Jahr 812,50 € an Sollzinsen zu zahlen. Um welchen Betrag überzog Elke ihr Konto?
Lösungen: 2500
12
6500
9000
5000
7000
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A
Prozent- und Zinsrechnen
Zinssatz berechnen
1 Wie hoch ist der Zinssatz? Berechne. K
Z
a)
2450 €
122,50 €
b)
1600 €
72 €
c)
3200 €
134,40 €
d)
2800 €
145,60 €
2 Zu Beginn des Jahres hat Bea 1350 € auf ihrem Sparbuch. Welchen Zinssatz hat sie mit ihrer Bank vereinbart, wenn Bea 20,25 € Zinsen am Jahresende bekommt?
3 Herr Stadler muss für einen Kredit über 15 000 € im Jahr 1800 € Zinsen tilgen. Zu welchem Zinssatz wird der Kredit gewährt?
Lösungen: 1,5 4,2 4,5 5 5,2 12
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