Matemática

Funciones y límites

6.

°

SECUNDARIA

ciencia tecnologÍa producción

Organización del libro El módulo de Funciones y límites del libro Matemática 6 está organizado en dos unidades: Funciones (Unidad 1) y Límites, continuidad y derivadas (Unidad 2).

2

Páginas iniciales

Recuerda

funciones y límites

Límites, continuidad y derivadas 1. Límite finito en el infinito 2. Límite infinito en el infinito 3. Límite infinito en un punto 4. Cálculo de límites

Pendiente de una recta La pendiente m de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas.

1. Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos indicados y di si es creciente o decreciente.

La página de la izquierda contiene el índice de los temas desarrollados y muestra fotografías que ejemplifican las relaciones de esos temas con diversos aspectos de la sociedad, la cultura o la naturaleza.

a) _5; 2 i, _5; 3 i

Si conocemos dos puntos P1 _ x1; y1 i y P2 _ x2; y2 i , la pendiente y 2 - y1 . x 2 - x1 La pendiente de una recta determina su inclinación:

b) _3; 8 i, _7; 8 i

de la recta que pasa por ellos es: m =

5. Asíntotas 6. Continuidad de una función 7. Variación de una función 8. Derivada de una función en un punto

c) _- 4; 4 i, _6; - 6 i d) _0; 0 i, _6; 3 i

• Si m 2 0 , entonces la recta es creciente.

e) _3; 6 i, _0; 0 i

• Si m 1 0 , entonces la recta es decreciente.

f) _2; 5 i, _7; - 1 i

• Si m = 0 , entonces la recta es horizontal. Creciente

Decreciente

Y

Y

m20

m10

0

0

X

X

ecuación de una recta Una recta que pasa por el punto P1 _ x1; y1 i y de pendiente m tiene por ecuación: y - y1 = m _ x - x1 i y = mx + _ y1 - mx1 i La recta corta el eje de las ordenadas (Y ) en el punto _0; y1 - mx1 i .

2. Da la ecuación de la recta que pasa por el punto P y de pendiente m. Escríbela bajo la forma y = mx + b . 2 a) P _5; 2 i, m = 3 1 b) P _- 2; 1 i, m = 2 c) P _3; 2 i, m = 3 d) P _- 2; - 3 i, m =-

3 2

e) P _0; 2 i, m =- 0, 5

composición de funciones Se llama función compuesta de f con g a la función g o f definida por:

3. Dadas las funciones f _ x i = 5x 2 y g _ x i = 4x - 1, encuentra: a) La función compuesta g o f

_ g o f i_ x i = g ` f _ x ij

b) La función compuesta f o g

Y

2

c) ¿Es lo mismo g o f que f o g ?

x2

1

d) El valor de _ g o f i_ 3 i

cos 2 x 0

–1

1

2

3

4

e) El valor de _ f o g i_ 3 i X

cos x

–1

43

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

10. Funciones polinómicas y racionales

Funciones racionales

Funciones polinómicas

Se llama función racional (o fracción racional) a toda función que puede escribirse: P_ x i , con Q _ x i ! 0 R_ x i = Q_ x i

Imagen 1 Y

Se llama función polinómica de coeficientes reales y de grado n (n ! N ), a toda función definida en R que puede escribirse bajo la forma: n

P_ x i = an x + an - 1 x

n-1

y=3 2

y=1

1

+ ... + a1 x + a 0 0

donde: • Los coeficientes son reales: a n, a n - 1, ..., a1, a 0 ! R con a n ! 0 . • Los exponentes son enteros naturales: n, n - 1 , ..., 1 ! N

•

El dominio de definición de las funciones racionales es R privado de los valores donde el denominador Q se anula. Estas funciones son continuas en su dominio. Estos son algunos ejemplos:

Imagen 2

Estos son algunos ejemplos:

• La función f definida por f _ x i =

y = 2x Y

• La función P definida por P _ x i = 4x 6 - 9x 4 - 6 es una función polinómica. 6 • La función Q definida por Q _ x i = 2x3 - 4x2 + no es una función polinómica. x

a1 2 0

• La función g definida por g _ x i = 2

y =-x + 3

0

2x 4 - 4x + 6

es racional.

3x2 + 5x - 7

Desarrollo de contenidos

x3 + 2x2 + 4 no es racional pues Q es de grado 0. 7

Asíntotas verticales

a1 1 0

Funciones polinómicas de grado cero (constantes) Las funciones de grado 0 tienen la forma P _ x i = a 0 con a 0 ! 0 , es decir, son constantes. Su gráfica es la recta horizontal de ecuación y = a 0 (imagen 1).

X

2

La curva de R presenta una asíntota vertical en cada uno de los valores en los que la función Q es nula si el numerador no se anula en estos mismos valores.

Funciones polinómicas de grado 1

ejemplo

Funciones polinómicas de primer grado (lineales) Las funciones polinómicas de grado 1, P _ x i = a1 x1 + a 0 con a1 ! 0, son lineales. Si a1 2 0 , la recta es creciente y, si a1 1 0, la recta es decreciente (imagen 2).

Funciones polinómicas de segundo grado (cuadráticas)

Ejemplo 18 Y –3

–2

0

–1

1 X

–2

y = - 2x 2 - 4x - 5

Las funciones polinómicas de grado 2, P _ x i = a 2 x2 + a1 x1 + a 0 con a 2 ! 0 , son funciones parabólicas (su curva es una parábola).

y cóncava si a 2 1 0 .

P y Q son dos funciones polinómicas y Q es de grado $ 1 .

X

2

Funciones polinómicas de grado 0

Las funciones polinómicas están definidas y son continuas en R .

El punto de abscisa x =

a2 1 0

Ejemplo 19

19. Determina el dominio de definición de la función f definida por x3 - 4x2 + 4x - 1 , la ecuación de su(s) asíntota(s) verticales y grafícala. f_ x i = x2 - 1

20

f_ x i =

–8

_ x2 - 3x + 1 i_ x - 1 i _ x + 1 i_ x - 1 i

0

–2

Como el numerador se anula en dos valores, podríamos pensar que la curva de f tiene dos asíntotas verticales, sin embargo, notemos que

–6

Y

10

No está permitida la división por 0, luego, x2 - 1 ! 0 . Así, el dominio es R - #- 1; 1 - .

–4

- a1 es el vértice de la parábola. La curva es convexa si a 2 2 0 2a 2

2

X

–10

x2 - 3x + 1 . Así, la asíntota vertical es x =- 1 . = x+1

–20

Imagen 3

ejemplo

6

18. Determina el dominio de definición de la función f definida por f _ x i =- 2x2 - 4x - 5 y grafícala.

Y

y = x3 - 1 a3 2 0

y = - x 3 + 2x 2 + 1 a3 1 0

El dominio de definición de f es R . La curva es cóncava pues a 2 =- 2 1 0 . El punto de abscisa x =

-_ - 4 i -a1 = =- 1 es el vértice de la parábola. 2a 2 2_- 2i

Funciones polinómicas de tercer grado (cúbicas) Las funciones de grado 3 se escriben P _ x i = a3 x3 + a 2 x2 + a1 x1 + a 0 con a3 ! 0 . Si a3 2 0 , la curva es globalmente creciente pero puede tener una sección decreciente y, si a3 1 0, la curva es globalmente decreciente pero puede tener una sección creciente (imagen 3). 24

–2 –1 0

1

2

3

4 X

Actividades 30. Determina el grado de las siguientes funciones polinómicas: Y

g

h

–6

f

y = x 3 - 4x 2 + x - 2 a3 2 0

0

31. Determina el dominio de definición de la función f definida por f _ x i = x _1 - x i + 4 , su vértice y si es cóncava o convexa y grafícala. 32. Determina el dominio de definición de la función f definida por f _ x i = x3 + x2 - 2x + 1 y grafícala.

i

–10

X

33. Determina el dominio de definición de la función f 3x2 - 5x - 1 definida por f _ x i = , la ecuación de su(s) x2 + 2 asíntota(s) verticales (si presenta alguna) y grafícala.

Funciones polinómicas de grado 3

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25

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

ejemplos

Definición Historia de la matemática

La función f es continua en a si lim f _ x i = f _ a i.

x"1 x11

x"a

Cuando una función no es continua en un punto, se dibuja un círculo para poner en evidencia que existe un punto que no pertenece a la curva. La función parte entera no es continua en R pero es continua en los intervalos del tipo 7n, n + 1 i, n ! Z .

Y 3

Algunos trabajos de Pierre de Fermat (Francia 1601-1665) constituyen el origen del cálculo infinitesimal que, posteriormente, desarrollaron Leibniz y Newton.

Y

No está permitida la división por 0 por lo que el dominio de definición es R - #- 2; 2 - .

2 X

–1 0 –1

Si x # 0 , f _ x i = 1

2

3

4 X

A

La imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo. Por ejemplo,

3 2 1 –1 0 –1

x+2 =- 1. Por lo que lim f _ x i = lim f _ x i =- 1. x "-3 x "- 2 -x - 2

f `7a, bAj = 8 f _ a i, f _ b iB o f `_a, b ij = lim f _ x i, lim f _ x i si f es creciente. ex"a o x"b

Actividades

Funciones usuales

1

2

3

4

5

6

7

8 X

–2 –3

15. Determina el conjunto de definición y el intervalo de continuidad de la función.

Más Problemas resueltos: 24

x1b

• Las funciones polinómicas son continuas en R .

a)

• La funciones con radicales son continuas en su conjunto de definición.

b) f _ x i = x3 + x - 1

• Las funciones exponenciales son continuas en R .

c)

• Las funciones logarítmicas son continuas en su conjunto de definición.

d) f _ x i =

• Las funciones trigonométricas son continuas en R excepto la función tangente que r es discontinua en + kr, k ! Z . 2 • La función valor absoluto es continua en R .

17. ¿Se puede prolongar la función de la gráfica para que sea continua en R ?

f _ x i = x2

• Las funciones racionales son continuas en su conjunto de definición.

f_ x i =

Y

5 4

2

x2 + 1

f_ x i = x -

f)

f_ x i =

x-

x 3 -1 x

En algunas páginas encontrarás un código QR y un link que conduce a un video o a un simulador con el que deseamos abrirte las puertas a otros aspectos de la matemática o a nuevos recursos para entenderla. Aprécialo o utilízalo según tus intereses, no es un requisito para realizar las actividades.

3

x2 - 2x - 4

e)

En los márgenes encontrarás varios tipos de notas que te proporcionarán información adicional o te ayudarán a entender la información clave de estas páginas.

1 –6

–5

–4

–3

–2

0

–1 –1

1

2

3

4

5

6

X

–2 –3

x 2 - 3x + 5, si x 1 0 . k, si x $ 0 ¿Para qué valor de k la función es continua en R ?

16. Sea la función definida por f _ x i = )

• Toda función compuesta de dos funciones continuas es continua. • La suma, el producto y el cociente de dos funciones continuas es continua en su conjunto de definición. ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

2

4

Se puede prolongar f en - 2 definiendo una nueva función g tal que g _ x i = f _ x i para x ! R - #- 2; 2 - y g _- 2 i =- 1. Pero no es posible prolongar f en 2 pues sus límites a la derecha ( + 3 ) y a la izquierda ( - 3 ) son diferentes. La función g es continua en R - # 2 - .

Propiedades

54

Y

5

c) ¿Es posible prolongar f para que sea continua en R ?

–3

x2a

Ejemplo 11

x"2 x12

–2 0

3 X

2

–3

x"1 x21

b) Estudia los límites de f en - 3, + 3, - 2 y 2 . x+2 Si x $ 0 , f _ x i = . Por lo que lim f _ x i = 1, lim f _ x i =+ 3 y x "+3 x"2 x-2 x22 lim f _ x i =- 3 .

1 –4 –3 –2

5 –2

f

1

–2

a) Determina el dominio de definición de la función.

2

15 10

–4

Y

1

x+2 11. Continuidad de la función definida por f _ x i = . x -2

Representación gráfica

–6

3 2

–1 0 –1

–5 –4 –3 –2

La función g es continua en R pues lim g _ x i = 2 = g _ 1 i y lim g _ x i = 2 = g _ 1 i.

La función f es continua en el intervalo A si f es continua en todo real x ! A .

20

Ejemplo 9

g _ x i = f _ x i, x ! 1 10. Estudia ahora la continuidad de la función g : * definida en R . g_ 1 i = 2

Sea f una función definida en un intervalo A 1 R . Sea a ! A .

–10 –8

2

x -1 definida en R - # 1 - . x-1 La función f es continua en su conjunto de definición, es decir en R - # 1 - .

9. Estudia la continuidad de la función f _ x i =

La idea intuitiva de continuidad de una función en un intervalo es que el trazo de su curva representativa es continuo (no tiene interrupciones) en todo ese intervalo: la curva es un solo pedazo.

Estas páginas desarrollan los nuevos contenidos y procedimientos matemáticos con explicaciones claras, recuadros que destacan las ideas fundamentales, ejemplos de problemas resueltos de manera razonada y varias actividades que te servirán para poner a prueba tu comprensión y para afianzarla.

El recurso gráfico Más Problemas resueltos te indica en qué ejemplos de la sección Problemas resueltos puedes encontrar nuevos e interesantes aspectos del razonamiento matemático asociado con los contenidos estudiados.

6. Continuidad de una función

La función es continua en el intervalo A.

La página de la derecha contiene la sección Recuerda; esta contiene información y actividades que te ayudarán a recordar conceptos y procedimientos matemáticos que ya has estudiado en años o momentos anteriores y que son un requisito para entender la unidad.

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Taller de matemática

Modelos matemáticos

HACER — DECIDIR

Límites laterales de una función

Cálculo de velocidades

Utilizando el buscador internet Google, explorarás los límites laterales de una función en un punto. sen x Considera la función f _ x i = . x El límite trigonométrico de esta función en 0 es muy importante en cálculo de límites y se utiliza para calcular otros límites de funciones trigonométricas a través de las ecuaciones que permiten transformar sumas de funciones trigonométricas en productos de funciones trigonométricas, entre otras. sen x , te encuentras frente a una forma indeterminada. Si tratas de calcular lim x"0 x

El objetivo es calcular la velocidad de vaciado o llenado de diferentes contenedores.

¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito cilíndrico si estamos vaciándolo a razón de 3 000 litros por minuto?

1 –4

–3

–2

0

–1

En estas secciones el estudio de los temas de la unidad se sintetiza en las cuatro dimensiones del aprendizaje: Saber, Hacer, Ser y Decidir.

El cilindro

Y

2

–5

1

2

3

4

5

–1

X

–2

Sea r el radio y h la altura del cilindro medidos en decímetros. Sea V _ t i el volumen de agua, medido en litros (dm3 ), que hay en el cilindro en el tiempo t medido en minutos. La información que nos dan es una tasa de variación: V _t + 1 i - V _ t i =- 3 000 en litros por minuto

1. Dibuja la gráfica de la función.

La tasa de variación es negativa ya que el volumen disminuye con el tiempo.

Abre tu explorador internet favorito e ingresa a la página de búsqueda de Google. En la barra de búsqueda escribe la función: sin _ x i /x (se escribe sin en lugar de sen pues los comandos de esta aplicación están en inglés) y pulsa intro. Aparecerá en primer lugar el gráfico de la función y luego los resultados habituales de una búsqueda.

Como el radio es constante y la altura del agua depende del tiempo (va bajando), tenemos:

Puedes agrandar o achicar la gráfica moviendo la rueda del ratón o utilizando la función de agrandamiento de la esquina superior izquierda.

Por tanto, h _t + 1 i - h _ t i =-

V _ t i = rr 2 h _ t i De las dos fórmulas tenemos que V _t + 1 i - V _ t i = rr2 `h _t + 1 i - h _ t ij =- 3 000. 3 000 decímetros por minuto. rr 2 También podemos expresar esta medida en metros por minuto: 3 h _t + 1 i - h _ t i =rr 2 La tasa de variación de la altura en un intervalo de 1 minuto es una velocidad.

2. Explora los límites laterales cuando los valores de x tienden a 0, por la izquierda y por la derecha. Pon el ratón sobre la gráfica y verás aparecer un punto sobre la curva. En la esquina superior derecha aparecen las coordenadas _ x; y i de este punto.

El cono

Y

0.6 0.3

Observa los valores de la función cuando x se acerca a 0 por la izquierda y por la derecha. Anota los valores en una tabla.

–10 –8

–6

–4

–2 0 –0.3

2

4

6

8

10

X

R

Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de 9 litros por segundo. La altura del depósito es de 10 metros y el radio de la tapa de 5 metros, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha alcanzado una profundidad de 6 metros?

H r

Si V _ t i es el volumen de agua que hay en el depósito en el tiempo t medido en segun1 9 3 2 m /s . Sabemos que V _ t i = rr _ t i h _ t i donde 3 103 h _ t i es la altura, medida desde el vértice, alcanzada por el agua en el tiempo t y

–0.6

h

dos, V _t + 1 i - V _ t i = Nota que mientras más se acerca el valor de x a 0, tanto por la izquierda como por la derecha, el valor de la función se acerca más a 1. Por tanto: sen x lim =1 x"0 x 3. Grafica las funciones siguientes y determina su límite en 0. 1 - cos x x

r _ t i es el radio de la sección transversal del cono a la distancia h _ t i desde el vértice. r h = , por lo que R H R 1 1 3 rh _ t i . r _ t i = h _ t i = h _ t i. Entonces, V _ t i = H 2 12

Y 4

Por semejanza de triángulos deducimos que

3 2 1 –8

–6

–4

0

–2

2

4

6

–1

8

X

–2

a) Expresa la tasa de variación del volumen con la última fórmula encontrada. b) Expresa la tasa de variación de la altura.

–3

tg x x

–4

c) Calcula la tasa de variación de la altura en h _ t i = 6 .

Elige tú. Elige algún otro recipiente que puede contener agua y determina su velocidad de llenado y vaciado.

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d) Determina el máximo de la función.

25. Para cada representación gráfica, clasifica la función f : R " R como inyectiva, suryectiva o biyectiva. Determina el rango de f .

Y

Y

Y

Como la función es creciente y luego decreciente, el máximo se alcanza para el valor más alto del intervalo en el que es creciente. Por tanto, el máximo de la función es f _ 4 i.

c) f _ x i =- x2 + 3

b) f _ x i = 2x + 1

27. Sea la función f definida en R tal que para todo par _ x, y i de reales f_ x + y i = f_ x i + f_ y i.

2 0

1 0

1

2

X

a) Verifica que f _ 0 i = 0 .

1

X

Reemplazamos x y y por 0 en la definición de la función: f _0 + 0 i = f _ 0 i + f _ 0 i + f _ 0 i = 2f _ 0 i + 2f _ 0 i - f _ 0 i = 0 + f _ 0 i = 0

X

1

0

a) La función no es inyectiva pues existen valores del codominio que son la imagen de más de un valor del dominio. Por ejemplo, f _ 1 i = f _- 2 i = 3 . Es decir 3 es la imagen de todos los elementos del dominio de definición R .

b) Demuestra que la función f es impar.

Reemplazamos y por - x :

La función no es suryectiva pues existen valores del codominio R que no son la imagen por f de ningún valor del dominio R . Por ejemplo, 5 no tiene antiimagen. Como la función no es ni inyectiva ni suryectiva, tampoco es biyectiva. El rango de f es 3: f _R i = 3 .

f ` x + _- x ij = f _ x i + f _- x i + f _ 0 i = f _ x i + f _- x i + 0 = f _ x i + f _- x i entonces f _- x i =- f _ x i, por lo que f es impar. Recuerda

b) La función es estrictamente monótona (estrictamente creciente) por lo que es biyectiva de R en R . Por tanto, f _R i = R .

c) Muestra que en el caso en que la función es periódica de periodo T , f _T i = 0 .

Si f es periódica de periodo T , f _ x + T i = f _ x i . Por otro lado, según la definición de la función f _ x + T i = f _ x i + f _T i. Por lo que f _ x i = f _ x i + f _T i. Deducimos que f _T i = 0 .

Inyectiva no suryectiva B

A

c) La función no es inyectiva pues existen valores del codominio que son la imagen de más de un valor del dominio. Por ejemplo, f _ 1 i = f _- 1 i = 2 . Es decir 2 es la imagen de más de un elemento del dominio de definición R .

28. Para cada curva representativa haz la lista de los x para los que la función f es discontinua.

La función no es suryectiva pues existen valores del codominio R que no son la imagen por f de ningún valor del dominio R . Por ejemplo, 5 no tiene antiimagen. Como la función no es ni inyectiva ni suryectiva, tampoco es biyectiva. El rango de f es: f _R i = _- 3, 3A.

Suryectiva no inyectiva

a)

a)

0 1

b)

Trabajo cooperativo

C3 –4

–3

–2

–1

1

2

3

4

a)

5

–1

82. ¿Cuáles de las siguientes curvas representan funciones logarítmicas y cuáles funciones exponenciales? Y

SER — HACER

f _ x i = 2x + 5

f_ x i =

c)

3

C1

3-x d) f _ x i = 2x2 2 Verifiquen que las gráficas de las funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. 86. Sea la función f definida en R por f _ x i = x 4 .

X 4 - Y 4 = _ X - Y i_ X + Y i_ X2 + Y2 i. –4

–3

–2

–1

1

2

3

C3

X

4

C4 –1

83. Determina el dominio, di si son crecientes o decrecientes y grafica las funciones definidas por: a) f _ x i = log 0, 1 x c) h _ x i = 2 - log 2 5 x b) g _ x i = log 3 2 x

f _ x i =- log 2 x

c) h _ x i = 4 - log 0, 2 x

b) g _ x i = log 0, 1 x

d) i _ x i = log 1, 1 x

c) Estudien la paridad de f . Deduzcan las variaciones de f en _- 3, 0A. d) Establezcan la tabla de variaciones de f .

f) Compárenla con la curva representativa de x2 . ¿Para qué valores f es superior a la función cuadrada? ¿Para qué valores es inferior?

87. La gráfica de la función f _ x i =

2

C1

1

C2 0.5

–1

X 1

1.5

1

1

2.5

2

3

4

5

6

Obtengan la expresión algebraica y representen las siguientes funciones. f_ x - 2i

c) 1 - f _ x i

b) f _ x + 3 i

d) f _ x i - 2

a)

40

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

89. El manual de usuario de un vehículo afirma que el ruido producido por el motor sigue aproximadamente la fórmula: r = at 2 + 2, 8t + 8 donde r es el nivel de ruido medido en decibeles; t es el número de años de antigüedad del vehículo; y a es un número fijo que se denomina coeficiente de atenuación.

En la sección de Actividades de práctica y profundización encontrarás ejercicios y problemas que te servirán para consolidar y profundizar tus aprendizajes. Están clasificados de acuerdo con los temas de la unidad.

Tiempo 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 (en horas)

Escribimos h la función que al tiempo en horas asocia la altura del agua en el puerto en metros. a) ¿Cuál es la altura del agua a las 10 de la mañana? b) Determina h _ 9 i. d) Resuelve gráficamente h _ x i H 7 e) Establece la tabla de variación de h en el intervalo 70, 12A. Se constata que las medidas obtenidas entre medio día y media noche pueden ser modeladas por la función:

712, 24A " R x

"-

Un vehículo fue revisado cuatro años después de haber sido comprado y en el informe se indica que el nivel de ruido fue de 27 decibeles. a) ¿Cuál es el coeficiente de atenuación? b) ¿Cuántos decibeles producirá el vehículo a los 8 años? 90. Una firma de arquitectos está diseñando un edificio circular de radio R. En la planta baja desean poner un jardín interior rectangular de lados l (corto) y L (largo).

5 20 3 _ x - 18 i + _ x - 18 i + 5 81 9

g) Marca los puntos obtenidos en un gráfico con base ortonormal y únelos de manera armoniosa. Obtienes así una imagen posible de h entre medio día y media noche.

2

C4 C3

4

HACER — DECIDIR

Las actividades de la sección Ciencia, tecnología y culturas exigen aplicar los conceptos matemáticos en situaciones contextualizadas.

f) Escribe la tabla de valores de esta función para los valores de 12 a 24 incluidos.

x es:

Y 8 6

17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1

c) ¿A qué horas la altura es de 7 metros?

b) Demuestren que la función f es estrictamente creciente en 70, + 3 i.

e) Tracen la curva representativa de f .

d) i _ x i = log 3 x - 1

84. Asocia cada curva con la función que representa. a)

Altura (en metros)

2x - 3

a) Demuestren que, cuales sean los reales X y Y , se tiene que:

C2

–5

88. En un puerto se hacen medidas sobre la altura que alcanza el agua. A causa de las mareas, esta varía bastante en el transcurso de un día. A continuación se muestra el gráfico del relevamiento hecho durante un día.

b) f _ x i =

C2 –2

31

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Ciencia, tecnología y culturas

85. Determinen en qué intervalo es posible calcular la función inversa de cada una de las siguientes funciones. Calculen la función inversa y grafíquenla.

1

X

f) La función es discontinua para x =- 1, x = 1 y x = 4 .

Resuelve en grupos de tres o cuatro.

C4

2

C1

0 1

X

e) La función es discontinua para x = 3 .

81. Asocia cada curva con la función que representa.

d) i _ x i =- 0, 5 x - 1

Y

X

d) La función es discontinua para x = 0 .

Actividades de práctica y profundización c) h _ x i = 2, 5 X

f)

Y

c) La función es continua.

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1

X

b) La función es discontinua para x = 1.

30

3X

0 1

X

a) La función es discontinua para x = 2 .

f_ 4 i 2 f_ 5 i Sabemos que si f es decreciente, entre a y b tales que a 1 b entonces f _ a i 2 f _ b i. Como f es decreciente en 74, 6A y que 4 1 5 , entonces f _ 4 i 2 f _ 5 i es verdadero.

–5

d)

Y

0 1

f _ x i =- 2 X + 1

0 1

X

0 1

Sabemos que si f es creciente, entre a y b tales que a 1 b entonces f _ a i 1 f _ b i. Como f es creciente en 7- 2, 4A y que - 2 1 - 1, entonces f _- 2 i 1 f _- 1 i. Por lo que f _- 2 i 2 f _- 1 i es falso.

b) g _ x i =

En la sección Problemas resueltos se exponen ejemplos adicionales con los que desarrollarás y profundizarás tu comprensión de las formas de razonamiento asociadas con los contenidos de la unidad. El estudio de esta sección te ayudará a abordar con éxito las actividades finales.

Y

B

A

b) f _ - 2 i 2 f _ - 1 i

a)

e)

Y

Biyectiva

f_- 1i 1 f_ 4 i Sabemos que si f es creciente, entre a y b tales que a 1 b entonces f _ a i 1 f _ b i . Como f es creciente en 7- 2, 4A y que - 1 1 4 , entonces f _- 1 i 1 f _ 4 i es verdadero.

c)

c)

Y

B

A

26. Existe una función f creciente en el intervalo 7- 2, 4A y decreciente en 74, 6A . Califica con verdadero o falso las siguientes afirmaciones justificando.

El Taller de matemática te ofrece la oportunidad de explorar los conceptos matemáticos desde una perspectiva novedosa e interesante que proporciona pautas de trabajo con material concreto, instrumentos geométricos, dispositivos de cálculo, programas de computadora de uso corriente o software matemático destinado a la educación. La sección Modelos matemáticos desarrolla los fundamentos que permiten entender por qué determinados aspectos del mundo natural o cultural pueden entenderse mediante conceptos matemáticos y plantea actividades para utilizar o aplicar el modelo.

Problemas resueltos

a) f _ x i = 3

Secciones especiales y actividades finales

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33 76 , n. ¿Perte8 2 nece este punto a la representación gráfica de h?

h) Sea A el punto de coordenadas d

a) Expresa el área del jardín interior circunscrito en el círculo de radio R en función de l y R. b) Los arquitectos realizaron un tanteo para determinar el máximo valor que puede tener el área del jardín. ¿Cuánto medirán los lados del rectángulo en ese caso si R = 5 m? c) ¿Qué tanto por ciento de la superficie del círculo (base del edificio) ocupa el rectángulo (jardín)?

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41

3

Índice general Módulo Lógica, conjuntos y probabilidad Lógica Lenguaje usual y lenguaje lógico Tablas de verdad de los conectores lógicos Tablas de verdad de proposiciones compuestas Propiedades y relaciones lógicas Leyes lógicas Circuitos lógicos Tipos de razonamiento

Conjuntos Noción de conjunto Relaciones entre conjuntos Operaciones entre conjuntos Álgebra de conjuntos Cardinalidad de un conjunto Producto cartesiano y relaciones

Probabilidad Experimento aleatorio, sucesos elementales y espacio muestral Operaciones con sucesos y relaciones entre sucesos Definición de probabilidad: regla de Laplace

Módulo Funciones y límites Funciones Definición de función y generalidades Funciones reales de variable real Variación de una función Paridad y periodicidad Continuidad y asíntotas Transformación de funciones Operaciones con funciones Composición de funciones Función inversa Funciones polinómicas y racionales Funciones irracionales y trigonométricas Funciones exponenciales y logarítmicas

Límites, continuidad y derivadas Límite finito en el infinito Límite infinito en el infinito Límite infinito en un punto Cálculo de límites Asíntotas Continuidad de una función Variación de una función Derivada de una función en un punto

Módulo Funciones, derivadas e integrales Derivadas Función derivada Reglas de derivación Derivadas de funciones compuestas Derivadas de funciones trascendentes Aplicaciones de la derivada primera Concavidad de una función Análisis de funciones Optimización

Funciones usuales Funciones polinómicas Funciones racionales Funciones irracionales Funciones en las que interviene el valor absoluto Funciones definidas por tramos Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Funciones trigonométricas Funciones inversas de las funciones trigonométricas

Propiedades de la probabilidad

Integrales

Probabilidad condicional

Función primitiva

Sucesos dependientes y sucesos independientes

Integración de funciones usuales simples

Regla del producto y diagramas de árbol

Integración por el método de sustitución

Caso general y tablas de contingencia Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes

Integración de funciones usuales compuestas Integración por partes Integral definida Cálculo de la integral definida Valor medio de una función

4

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Índice

Funciones y límites

Unidad

1

Páginas de desarrollo Funciones Definición de función y generalidades

2

8

Problemas resueltos 30

Funciones reales de variable real

10

Taller de matemática 34

Variación de una función

12

Modelos matemáticos 35

Paridad y periodicidad

14

Actividades de práctica y profundización 36

Continuidad y asíntotas

16

Ciencia, tecnología y culturas 41

Transformación de funciones

18

Operaciones con funciones

20

Composición de funciones

21

Función inversa

22

Funciones polinómicas y racionales

24

Funciones irracionales y trigonométricas

26

Funciones exponenciales y logarítmicas

28

Límites, continuidad y derivadas

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Límite finito en el infinito

44

Problemas resueltos 60

Límite infinito en el infinito

46

Taller de matemática 64

Límite infinito en un punto

48

Modelos matemáticos 65

Cálculo de límites

50

Actividades de práctica y profundización 66

Asíntotas 52

Ciencia, tecnología y culturas 69

Continuidad de una función

54

Variación de una función

56

Derivada de una función en un punto

58

5