Estudio completo de una función. f (x ) =
•
{
x
}
Dominio. D[f (x )] = x ∈ R / x + 1 ≠ 0 2
x +1 2
x +1= 0 ; x = ± −1∉R No existen valores que anulen el denominador y por tanto el dominio es R 2
•
Simetría. f (− x ) =
−x
(− x )
+1
2
=−
x x +1 2
= −f (x ) ⇒ Función de simetría impar
La función es simétrica respecto del origen de coordenadas. •
Puntos de corte con los ejes. OX (y = 0): 0 =
x x +1 2
⇒ x = 0 Corta en (0, 0)
OY: No es necesario estudiarlo, al eje de ordenadas solo lo puede cortar en un punto (0, 0). •
Asíntotas.
Verticales: x = a / a ∉ D y Lím f (x ) =
k 0
x →a
Como el dominio es todo R, no hay asíntotas verticales. Horizontal: y = L / L = Lím f (x ) x →±∞
Lim
x
x → ±∞
x +1 2
1 =0 x →±∞ x
≈ Lim
Asíntota horizontal y = 0 Oblicuas: No hay por existir horizontal. •
Monotonía y extremos relativos. f ′(x ) = f ′(x ) = 0 ;
(
(x
(x
2
−1
(− 1)
f (1) =
2
+1 1
1 +1 2
=− =
)
+1
1 ⇒ Mínimo en 2
)
+1
2
1− x2
Signo de la primera derivada f ′(x ) =
f (− 1) =
)
1 ⋅ x 2 + 1 − x ⋅ 2x
2
2
1− x2
(x
2
)
+1
2
= 0 ; 1 − x 2 = 0 ; x = ±1
1− x2
(x
=
2
)
+1
2
1 − 1, − 2
1 1 ⇒ Máximo en 1, 2 2
•
Curvatura y puntos de inflexión.
f ′′(x ) =
) ( ) ( ) = (x + 1)⋅ [− 2x ⋅ (x + 1) − (1 − x )⋅ 4x ] = (x + 1) (x + 1) − 2 x ⋅ (x + 1) − (1 − x ) ⋅ 4 x 2 x − 6x = = (x + 1) (x + 1) x=0 f ′′(x ) = 0 ; 2 x − 6 x = 0 ; 2 x ⋅ (x − 3) = 0 ; x=± 3
(
2
− 2x ⋅ x 2 + 1 − 1 − x 2 ⋅ 2 ⋅ x 2 + 1 ⋅ 2 x 2
2
2
2 2
2
4
2
2
2
2
3
3
2
3
3
2
Digno de la segunda derivada f ′′(x ) =
(
)
f − 3 =
(− 3 ) = − (− 3 ) + 1 2
2x 3 − 6x
(x
2
)
+1
3
3 0 ; f (0 ) = 2 =0 ; f 4 0 +1
( 3)=
( 3)
3
2
+1
=
3 4
3 3 La función tiene puntos de inflexión en: − 3 , − , (0, 0 ) y 3 , 4 4
