ELIPSE
1- a) ¿Cómo se denomina la gráfica? b) Determine los elementos. c) Represente. 1-1)
16 x2 + y2 - 64 = 0
1-2)
4 x2 + 25 y2 - 100 = 0
1-3)
25 x2 + 16 y2 - 400 = 0
1-4)
4 x2 + 9 y2 - 54 y + 45 = 0
1-5)
4 x2 + y2 + 16 x = 0
1-6)
x2 + 4 y2 - 8 x - 40 y +112 = 0
1-7)
4 x2 + y2 - 16 x + 2 y + 13 = 0
Resolución del ejercicio 1-7): a) elipse b) 4 x2 + y2 - 16 x + 2 y + 13 = 0 Agrupando para completar cuadrados: (4 x2 - 16 x) + (y2 + 2 y) = -13 4 (x2 - 4x) + (y2 + 2 y + 1 - 1) = -13 4 (x2 - 4 x + 4 - 4) + (y + 1)2 - 1 = -13 4 (x - 2)2 - 16 + (y + 1)2 = -13 + 1 4 (x - 2)2 + (y + 1)2 = -13 + 1 + 16 4 (x - 2)2 + (y + 1)2 = 4
(x − 2) 2 +
c(2,-1)
(y + 1) 2 =1 4
(dividiendo en 4)
a2 = 4 ⇒ a = 2 c) b2 = 1 ⇒ b = 1 c2 = a2 - b2 ⇒ c2 = 4 -1 c2 = 3 ⇒ c =
3
ε= c/a 3 < 1 2
ε=
v (2, 1) v1 (3, – 1)
v' (2, – 3) v1´ (1, – 1)
3)
f (2, – 1 +
f ' (2, – 1 –
3)
v v' = 4
longitud del eje mayor
v1 v1' = 2
longitud del eje menor
Ecuación de la recta que contiene al eje mayor: x = 2. Ecuación de la recta que contiene al eje menor: y = – 1. Resolución del ejercicio 1-5): a) elipse b) 4 x2 + y2 + 16 x = 0
(4 x 4 (x 4 (x
2
Agrupando para completar cuadrados
)
+ 16 x + y 2 = 0
)
2
+ 4 x + y2 = 0
2
+ 2 ⋅ 2 ⋅ x + 22 − 22 + y2 = 0
[
)
]
2
4 (x + 2 ) − 2 2 + y 2 = 0 2
4 (x + 2 ) − 16 + y 2 = 0 2
4 (x + 2 ) + y 2 = 16 2
dividiendo en 16
4 (x + 2 ) y 16 + = 16 16 16 2 (x + 2 ) + y 2 = 1 4 16 c (− 2, 0 ) 2
a 2 = 16 ⇒ a = 4 b2 = 4
⇒ b=2
c2 = a 2 − b2
2
⇒ c = 16 − 4 = 12
ε = c/a ⇒ ε =
12 0 ; B = 0
b) A ≠ C ; AC > 0 ; B ≠ 0
c) A = C ; AC > 0 ; B = 0
d) A ≠ C ; AC < 0 ; B = 0
4- La ecuación
x2 y2 + = 1 corresponde a una elipse cuyos vértices y focos son: 25 9
a) v (± 4, 0) f (± 5,0)
b) v (0, ± 5) f (0, ± 4)
c) v (± 5, 0) f (± 4,0)
d) v (0, ± 4) f (0, ± 5)
5- La ecuación de la elipse que tiene centro c (- 2, 3), vértice v (1, 3) y ε = 2/3 es:
a)
(x + 2) 2 (y − 3) 2 + =1 9 5
b)
c)
(x + 2) 2 (y − 3) 2 + =1 5 9
d)
(x − 2) 2 (y − 3) 2 + =1 9 5 (x + 2) 2 (y − 3) 2 − =1 9 5
6- La ecuación de la elipse con centro c (0, 0), vértice v (0, 3) y que pasa por el punto p (– 2, 0) es:
a)
c)
x2 y2 − =1 9 4 y
2
9
−
x2 =1 4
b)
x2 y2 + =1 9 4
d)
x2 y2 + =1 4 9