Lineare Gleichungssysteme
Eingangstest – lineare Gleichungssysteme 1 Lineare Gleichung mit einer Variablen Löse die Gleichung. a) – 7 x + 24 = 101 b) 4 (x + 9) = 15 x – 8
x = – 11
c) 3 (x – 7) = 4 x – 2 (2 x + 8) 5 x = __ 3
x = 4
2 Stelle zu den Sachproblemen geeignete Gleichungen auf und löse diese dann. a) Addiert man zum Fünffachen einer Zahl sieben, so erhält man das Gleiche, wie wenn man vom Achtfachen der Zahl 12 subtrahiert. 19 ___ Gleichung: Lösung: x = 3 5 x + 7 = 8 x – 12 b) Ein Rechteck hat einen Umfang von 44 cm. Eine Seite ist 3 cm länger als die andere Seite. Gleichung: 2 (x + 3) + 2 x = 44 3 Lineare Gleichung mit zwei Variablen Stelle die Lösungsmenge der Gleichung grafisch dar. a) y = 3 x – 4 b) y = – 0,5 x + 2 c) – 4 x + 2 y = 12 d) 4 x + 7 = – 2 y
Lösung: x = 9,5
y
d)
a)
6
b)
4 2 x −6
−4
−2
2
4
6
−2
c)
−4
4 Stelle zu den folgenden Sachproblemen passende Gleichungen mit zwei Variablen auf. Benenne zunächst die Variablen. a) Petra kauft Weizenbrötchen zu 0,30 € und Roggenbrötchen zu 0,40 € das Stück. Zusammen zahlt sie 5 €. x = y
Anzahl der Weizenbrötchen
= Anzahl der Roggenbrötchen
0,3 x + 0,4 y = 5
b) Die Ladefläche eines Lasters wird voll beladen (3 Tonnen). Es gibt Packstücke mit einem Gewicht von 200 kg und 300 kg. x = y
Anyahl der 200-kg-Stücke
= Anzahl der 300-kg-Stücke
200 x + 300 y = 3000
c) Ein Eventmanager verkauft Karten zu 50 € und 60 € für ein Konzert. Er hat Fixkosten von 6500 €. Pro Karte entstehen Kosten in Höhe von 12 €. Er macht einen Gewinn von 4500 €. x = y
44
Anzahl der 50-€-Karten
= Anzahl der 60-€-Karten
50 x + 60 y – 12 (x + y) – 6500 = 4500
Lineare Gleichungssysteme
Eingangstest – lineare Gleichungssysteme 5 Lineare Gleichungssysteme Löse das folgende Gleichungssystem. a) y = 2 x + 3 b) y = x – 5 y = 3 x – 1 2 x + 2 y = – 2
x = 4
x = 2
y = 11
y = – 3
d) 3 x + 3 y = – 6 c) 2 x + 3 y = 11 7 x + 4 y = – 2 4 x + 6 y = 22
x = 2
alle
(x | y) mit 2 x + 3 y = 11
y = – 4
(unendlich
viele Möglichkeiten)
e) 3 y = x + 11 f) 4 x – 7 y = 3 3 y = 2 x + 22 – 8 x + 14 y = – 5
x = – 11
{ }
y = 0
(keine Lösung)
6 Anwendungsaufgaben a) Ricarda hat zwei Kredite in einer Gesamthöhe von 20 000 € aufgenommen. Für den ersten bezahlt sie 3,5 % Zinsen pro Jahr, für den zweiten 4 %. Insgesamt bezahlt sie 725 € Zinsen pro Jahr. Kredit
1: x
x + y = 20 000
Kredit
2: y
0,035 x + 0,04 y = 725
x = 15 000; y = 5000
b) Elke und Alexander wohnen in 12 km entfernten Orten. Um sich möglichst schnell zu treffen, km km fahren sie mit den Fahrrädern aufeinander zu. Elke fährt mit 20 ___ . Alexander fährt mit 16 ___ . h
x = Weg
bis zum Treffpunkt (in km)
y = Zeit
bis zum Treffpunkt (in h)
h
x = 20 y x + 16 y = 12 20 1 ; y = __ x = ___ 3
3
c) Zwei Fallschirmspringer springen in einem zeitlichen Abstand von 3 s aus einem Flugzeug. Sie wollen sich im Fall zu einer Formation treffen. Der erste Springer hat eine Geschwindigkeit m , der zweite hat durch eine bestimmte Körperhaltung eine Geschwindigkeit von 50 __ m . von 40 __ s
s
x = Fallstrecke y = Fallzeit
bis zum Treffen (in m)
bis zum Treffen (in s)
x = 40 y x = 50 (y – 3) x = 600; y = 15
45
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungen mit einer Variablen 1 Löse die Gleichung.
19 jj 11 x = jj x = jj 3 x =
a) 22 + x = 41 d) 11 x : 121 = 1 g) 7 x + 16 = 52 – 5 x
b) 13 = 30 – x e) 8 x – 36 = 20
17 jj x = jj 7 x =
13 jj 5 x = jj x =
c) 7 x = 91 f) 32 – 3 x = 17
2 jj
h) (3 x + 16) : 2 = 19 – 4 x x =
Die zu den Lösungen gehörenden Buchstaben ergeben das Lösungswort: 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
B
L
H
C
A
W
Z
X
D
U
M
E
I
V
G
K
R
N
P
Y
Lösungswort: PRIMZAHL 2 Die Gleichungen sind durch Umformen gelöst. Dabei wurden einige Fehler gemacht. Korrigiere und bestimme die richtigen Lösungen. Die Buchstaben zu den Zeilen, wo falsch umgeformt wurde, ergeben das Lösungswort. a) 4 x – 2 = 2 x + 10 4 x = 2 x + 12 2 x = 12 x =6 9 x – 15 = 69 – 3 x d) 12 x – 15 = 69 12 x = 54 x = 4,5
B b) 3 x – 12 = 4 – 5 x 3 x = 16 – 5 x D 2 x = 16 V x =8 K 5 x – 6 = 2 x + 6 C e) 5 x = 2 x F 3 x =0 A x =0 G
H c) 48 + 12 x = 114 – 6 x 48 + 6 x = 114 J 6 x = 66 E x = 60 V 7 x + 30 = 100 – 7 x S f) 14 x + 30 = 100 L 14 x = 70 X x = 5 Y
P Q R U H T M V
Lösungswort: EQUAL 3 Welche Gleichung gehört zu welcher Textaufgabe? Ordne auch die jeweilige Lösung zu. a)
Wenn man das Dreifache einer Zahl zu acht addiert, erhält man das Gleiche, als wenn man das Fünffache der Zahl von zwölf subtrahiert.
b)
Die Differenz vom Dreifachen der Zahl und acht ist genau so groß wie die Summe von zwölf und dem Fünffachen der Zahl.
c)
Multipliziert man die Summe von acht und der Zahl mit drei, so ergibt sich das Gleiche, als wenn man das Fünffache der Zahl von zwölf subtrahiert.
d) Das Dreifache der um acht verminderten Zahl ist gleich der Summe vom Fünffachen der Zahl und zwölf. (1) 3(x + 8) = 12 – 5 x (2) 3 x + 8 = 12 – 5 x (3) 3 (x – 8) = 12 + 5 x (4) 3 x – 8 = 12 + 5 x
(I) – 10 (II) – 18 (III) 0,5 (IV) – 1,5
4 Ein Zug, der aus 10 Wagen und einer Lokomotive besteht, führt zweiachsige Güterwagen mit sich und dreiachsige Personenwagen. Die Lokomotive hat vier Achsen. Wie viele Personen- und Güterwagen befinden sich im Zug, wenn er insgesamt auf 64 Rädern läuft? 8 Personen-, 2 Güterwagen
50
a)
b)
c)
d)
2) 4) 1) 3) III
I
IV
II
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen – Lösungspaare 1 Ergänze die Tabelle so, dass die Wertepaare Lösungen der linearen Gleichung sind, und zeichne den Graphen. a) x – 2 y = 2 y x
– 2
0
2
4
y
– 2
– 1
0
1
c)
3 2
b) 2 x + y = 3 x
– 3
0
1
3
y
9
3
1
– 3
x −3
c) 3 x – 2 y = – 3 x
– 3
– 1
0
1
y
– 3
0
1,5
3
a)
1
−2
−1
1
2
3
−1 −2 −3
2 Die Wertepaare I) (– 1,5 | – 2); (2,5 | 2), II) (– 2 | 2); (0 | – 1), III) (– 3 | 1); (3 | – 3) sind jeweils Lösungen einer linearen Gleichung. a) Zeichne den zugehörigen Graphen. b) Welche der Gleichungen gehört zu diesen Wertepaaren? 2 x + 3 y = – 3 3 x – 2 y = – 2 2 x + 2 y = 1 2 x – 3 y = 3 2 x – 2 y = 1 3 x + 2 y = – 2
b)
y
II
I
3 2
III 1 x −3
−2
−1
1
2
3
−1
I)
2 x – 2 y = 1
II)
3 x + 2 y = – 2
−2
III)
2 x + 3 y = – 3
−3
c) Kreuze an. Wertepaare
(2 | – 4)
(0 | – 1)
(– 3 | 0,5)
(2 | 1,5)
(5,5 | 5)
(6 | – 7)
(– 6 | 8)
(9 | – 7)
Lösung von I) Lösung von II) Lösung von III) Nichts davon
51
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen – Graphen 1 Welcher Graph gehört zu welcher Gleichung? (1) 3 x – 6 y = 18 (2) 4 x + 6 y = 24 (3) 3 x + 5 y = – 15 (4) 4 x – 5 y = – 20
y a)
b)
6 4 2
x −4
−2
2
4
6
−2 c)
−4
d)
a)
b)
c)
d)
(2) (4) (1) (3)
2 Gib die Gleichung an, die zu dem Graphen gehört. a) y = 1,5 x y f)
d)
a)
6
b)
c)
4 2
e) −4
x −2
2
4
6
b)
y = 1,5 x + 6
c)
y = 1,5 x – 3
d)
y = – 0,5 x
e)
y = – 0,5 x – 1
f)
y = – 0,5 x + 4
−2 −4
3 Gib eine Gleichung a x + b y = c an, bei der alle Lösungen a) den y-Wert – 4 haben, b) den x-Wert 2 haben, c) einen y-Wert haben, der halb so groß wie der x-Wert ist, d) einen x-Wert haben, der um 2 kleiner ist als der y-Wert. Zeichne auch den Graphen.
y 8
4
x
−4
2
4
6
−2
x – 2 y = 0
−4 −6
d) y = x + 2
52
−2
c) y = 0,5 x
c)
2
b) x = 2
d)
6
a) y = – 4
b)
x – y = – 2
a)
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen – Anwendungen 1 Welche Aussage über Lösungspaare trifft zu? Kreuze an. genau ein Lösungspaar
kein Lösungspaar
unendlich viele Lösungspaare
Jedes Zahlenpaar ist Lösung
0 · x + 0 ∙ y = 0 0 ∙ x + 0 ∙ y = 1 0 ∙ x + 1 ∙ y = 2 1 ∙ x + 2 ∙ y = 0
2 Zahlenrätsel Wenn man zum Dreifachen einer Zahl das Siebenfache einer anderen Zahl addiert, erhält man 99. a) Stelle die zugehörige Gleichung auf. b) Löse die Gleichung nach einer Variablen auf. c) Suche alle Zahlenpaare mit natürlichen Zahlen, die die Bedingung erfüllen.
3 x + 7 y = 99 7 __ x = 33 – 3 y (3 | 26);
(6 | 19); (9 | 12); (12 | 5)
3 Ermittle alle Zahlenpaare mit negativen ganzen Zahlen, die folgende Bedingung erfüllen: Wenn man zu 100 das Neunfache einer Zahl und das Fünffache einer anderen Zahl addiert, erhält man Null. 100 + 9 x + 5 y = 0;
y = – 20 – 1,8 x
(– 5 | – 11); (– 10 | – 2)
4 Quadrat aus Draht Aus einem 80 cm langen Draht soll eine quadratische Figur mit einer quadratischen Aussparung gebogen werden. a) Gib eine Gleichung für den Umfang an.
y
x
y
6 x + 8 y = 80
b) Welche Zahlenpaare sind Lösungen dieser Gleichung? (6 | 5,5); (4 | 7); (3 | 8); (11 | 1,5); (2,4 | 8,2)
(6 | 5,5);
(4 | 7); (2,4 | 8,2)
c) Finde alle Lösungspaare, die nur aus natürlichen Zahlen bestehen.
(4 | 7);
(8 | 4); (12 | 1)
5 Aus dem 80 cm langen Draht soll nun die quadratische Figur mit drei quadratischen Aussparungen gebogen werden. Zeige, dass es nur eine Möglichkeit gibt, wenn x und y ganzzahlig sein sollen, und gib diese an. 10 x + 8 y = 80 y = – 1,25 x + 10 (4 | 5)
53
Lineare Gleichungssysteme
Lösungspaare 1 Welche der Paare sind Lösungen des linearen Gleichungssystems?
a)
2 x – 3 y = 11 x + 2 y = 2
b) – x + 5 y = 13
y = 7 – 2 x
c)
3 x – 6 y = 12 x = 2 y + 4
d) – 3 x + 6 y = 9 2 y = 6 + x e)
2 x – 3 y = 2 3 x – 5 y = 1
ja
nein
(7 | 1)
E
K
(4 | – 1)
I
T
(2 | 3)
T
A
(3 | 2)
N
E
(2 | – 1)
M
I
(6 | 1)
H
D
(– 1 | 1)
R
T
(1 | 2)
O
I
(7 | 4)
R
O
Lösungswort:
(4 | 2)
K
A
ARITHMETIK
2 Stelle eine lineare Gleichung auf, die mit 3 x – 2 y = 10 ein Gleichungssystem bildet, das a) (2| – 2) als einzige Lösung hat,
2 x + y = 2
b) keine Lösung hat,
3 x – 2 y = – 6
c) die Lösungen (– 2 | – 8) und (4 | 1) hat.
6 x – 4 y = 20
3 Die Paare (– 2 | 7), (– 1 | 5), (3 | – 3) und (4 | – 5) sind Lösungen der ersten Gleichung eines linearen Gleichungssystems. Bestimme, wenn möglich, die Lösung des Systems, wenn die zweite Gleichung wie folgt lautet a) 3 x + y = 6 (3 | – 3) b) 2 x + y = 3 alle
Paare sind Lösungen
c) 2 x + y = 4 keine d) x + y = 4
Lösung
(– 1 | 5)
4 Die linearen Gleichungssysteme sind besonders einfach. Bestimme die Lösungen. a) x = 2 b) y = 1 c) 3 x = 6 x + y = 3 x – y = 4 2 x – y = 5 d) 3 y = 9 e) x = 2 y – 1 f) 2 y = 3 x – 4 x + 3 y = 8 y = 1 3 x = 12 Die angegebenen Lösungen führen dich zum Lösungswort. (2 | – 2) T
(2 | – 1) R c)
Lösungswort:
54
(2 | 1) G a)
GERADE
(1 | 3) S
(– 1 | 3) A d)
(5 | 2) L
(5 | 1) E b)
(1 | 1) D e)
(1 | – 1) N
(4 | 4) E f)
Lineare Gleichungssysteme
Graphen 1 Die erste Gleichung eines LGS ist x – 4 y = – 20, ihr Graph schon eingezeichnet. Ermittle die Lösung zeichnerisch. Überprüfe deine Ergebnisse durch Einsetzen. a) x – 4 y = – 20 b) x – 4 y = – 20 5 x + 4 y = – 16 3 x – y = 6
F (– 6 | 3,5)
y E
F
6
R
N
4
x
E (4 | 6) −4
−2
4
6
b)
−4
N (6 | 6,5)
2 Bestimme die Lösungen grafisch. a) x – 2 y = 6 keine Lösung y = 0,5 x + 2 b) x + y = 5 x – 2 y = – 4 (2 | 3) c) 5 x + 3 y = – 15 unendlich viele x = – 0,6 y – 3
2 −2
c) x – 4 y = – 20 d) x – 4 y = – 20 8 x – 2 y = 5 5 x – 4 y = 4 I (2 | 5,5)
E
2
−6
I
d)
c)
c)
a)
−6
y 4
b)
b)
a)
2
a) −6
−4
−2
2
4
x
6
−2 −4
3 Max hat drei lineare Gleichungssysteme grafisch gelöst und gibt die Lösungspaare an. a) 30 x – 39 y = – 38 (– 3 | – 1,4) 7 x + 18 y = – 45 b) 30 x – 39 y = – 38 (1,4 | 2) 51 x + 15 y = 98 c) 7 x + 18 y = – 45 (3 | – 3,6) 51 x + 15 y = 98 Sein Freund Moritz erklärt ihm, die Ergebnisse seien falsch. Wer hat Recht? Die
Lösungen sind nicht genau.
( | )
4 a) – 3 – __ 3
( | )
4 2 b) __ 3
( | )
11 c) 3 – ___ 3
y 3 2 1 x −3
−2
−1
1
2
3
−1 −2 −3 −4
55
Lineare Gleichungssysteme
Lösungsverfahren 1 Löse die Gleichungssysteme. a) y = 2 x – 7 b) y = – x + 1 c) y = – 1,5 x + 1 y = – x – 1 y = – 2 x – 2 y = – 1,2 x – 0,2
(2 | – 3)
(– 3 | 4)
y = – 1,5 x – 1,5
(– 5 | 6) (6 | – 7) Z
(5 | – 6) U
7 1 f) y = – __ x – __
4 x + 1 e) y = – __
d) y = – 1,75 x – 2,75
(– 3 | 4) P
(4 | – 5)
3 3 y = – __ x + 2 2
6 6 3 5 y = – __ x – __ 4 4
(6 | – 7)
(– 7 | 8)
(– 2 | 3) M
(– 7 | 8) E
(– 6 | 7) N
(4 | – 5) I
(3 | – 4) K
(2 | – 3) S
(7 | – 8) R
(– 5 | 6) T
Lösungswort: SPITZE 2 a) 3 x – 2 y = 6 b) 5 x – y = 2 c) y = 1,5 x y = – x + 7 x = 3 y – 8 5 x – 2 y = 4
(4 | 3)
(1 | 3)
d) x = 0,4 y + 2,6
3,5 x – 4,5 y = 6
(3 | 1)
3
2
1 2 x 3 4 5
(2 | 3)
5 1 x + __ 1 y = __ e) __
5 5 1 y = __ f) __ x – __
6
6
4 x – __ 1 y = __ 3 3
(1 | 1)
1 A F L Q V
2 6 3 1 __ __ x = 4 y + 4
y 3 C H N S X
2 B G M R W
4 D I O T Y
5 E K P U Z
(4 | 5)
Die Lösungen stellen eine Geheimschrift dar, die du mithilfe der Tabelle entschlüsseln kannst.
SCHLAU
3 a) 2 x – y = 69 b) x – 2 y = – 108 c) 3 x – 2 y = 88 – x + y = – 5 – x + y = – 32 x + 2 y = 352 (64 | 59) (172 | 140) (110 | 121) d) 2 x – 6 y = 8 e) 5 x – 4 y = 66 f) 7 x – 6 y = 50 – x + 4 y = 28 x + y = 213 4 x – 3 y = 101
(100 | 32)
(102 | 111)
(152 | 169)
d
e
f
a
1
2
3
b
3
1
2
c
2
3
1
Bilde die Summe der beiden Zahlen eines Lösungspaares und trage sie in das Raster ein.
4 a) y = 2 x – 16 b) x + 0,5 y = 1 c) 4 x – 5 y = 3 y = – 3 x + 14 2 x + 1,25 y = 0,5 y = 0,8 x – 0,6
(6 | – 4)
(4 | – 6)
unendlich viele
d) 6 x – 9 y = – 12 e) – 3 x + 8 y = 14 f) 2 x – 3 y = 0 – 4 x + 6 y = 10 4 x – 5 y = 4 x = 6 + 3 y
{ }
(6 | 4)
(– 6 | – 4)
Eine Gleichung ist nicht lösbar, eine hat unendlich viele Lösungen. Die restlichen Lösungen sind hier angegeben.
(– 6 | 4) G 56
(6 | – 4) E
(4 | 6) R
(– 4 | – 6) A
(6 | 4) D
(– 6 | – 4) (4 | – 6) E N
ENDE
Lineare Gleichungssysteme
Textaufgaben zuordnen 1 Finde heraus welches Gleichungssystem zu welchem Text passt. Ordne auch die Lösungen zu. (1) Subtrahiert man vom Doppelten einer Zahl eine andere, so erhält man 64. Dagegen erhält man Null, wenn man vom Doppelten der Zahl das Dreifache der anderen Zahl subtrahiert.
(5) Vater und Sohn sind zusammen 64 Jahre alt. Vor 10 Jahren war der Vater dreimal so alt wie sein Sohn. Wie alt sind sie heute?
(4) Der Umfang eines Rechteck s ist 64 cm. Seine Seiten verhalten sich wie 2 : 3. Wie lang sind die Seiten?
a) x + 2 y = 64 2 y = 3 x b) x + y = 64 x – 10 = 3 (y – 10) c) y + x + 20 = 64 3 x = 8 y
Textaufgabe
(3) Der Umfang eines gleichschenkligen Dreieck s beträgt 64 cm. Ein Schenkel ist dreimal so lang wie die Hälfte der Basis. Wie lang sind Basis und Schenkel?
(2) Das Doppelte der Differenz zweier Zahlen ergibt 64. Addiert man zu der einen Zahl 2, so erhält man das Dreifache der anderen Zahl.
(6) In 10 Jahren werden Mutter und Tochter zusammen 64 Jahre alt sein. Wenn man das heutige Alter der Mutter durch 8 dividier t und mit 3 multipliziert, erhält man das Alter der Tochter. Wie alt sind sie heute? I) x = 49 y = 17
d) 2 (x – y) = 64 x + 2 = 3 y e) 2 x – y = 64 2 x – 3 y = 0 f) 2 x + 2 y = 64 3 x = 2 y
(1)
(2)
IV) x = 16 y = 24
II) x = 12,8 V) x = 32 y = 19,2 y = 12 III) x = 48 VI) x = 43 y = 32 y = 21
(3)
(4)
(5)
(6)
Gl.-System
e)
d)
a)
f)
b)
c)
Lösung
III
I
IV
II
VI
V
2 Formuliere eine Textaufgabe, die zu dem linearen Gleichungssystem passt. a) Aus der Geometrie:
In
einem gleichschenkligen Dreieck ist
x + 2 y = 180
ein
y = 4 x
Winkel
Basiswinkel viermal so groß wie der
b) Zahlenrätsel:
Eine
x + y = 8
summe
10 x + y = 10 y + x + 18 erhält
an der Spitze.
zweistellige Zahl hat die Quer 8. Vertauscht man die Ziffern,
65 = 10 · 6 + 5
man eine um 18 kleinere Zahl.
c) Alter:
Vater
und Sohn sind zusammen
x + y = 48
48 Jahre
x – 8 = 15 (y – 8)
Vater
alt. Vor 8 Jahren war der
15-mal so alt wie der Sohn.
57
Lineare Gleichungssysteme
Komplexe Aufgaben 1 – Spedition 1
Petersberg Klaustal
59 km
Güntersweiler
56 km Martinstein
48 km Markusfeld
36 km
Um 10.00 Uhr startet ein LKW der Spedition TRANSGUT in Klaustal, um Waren nach Petersberg zu bringen. Schon um 10.42 Uhr meldet sich der Fahrer, er sei jetzt an der Abfahrt Martinstein und habe bemerkt, dass die Frachtpapiere vergessen wurden. Der Chef schickt sofort einen PKW los, um die Papiere hinterher zu bringen. Dieser fährt um 10.45 Uhr los. Um 11.09 Uhr fährt er an der Abfahrt Martinstein vorbei. (Die Wagen fahren mit konstanter Geschwindigkeit.) a) Wann wird der LKW eingeholt? b) Wie weit ist der Treffpunkt von Klaustal entfernt? Strecke in km
100
Zeit in min 60
Löse zuerst die Aufgabe grafisch: a) 11.45
b) 140 km
Gib die Geschwindigkeiten an. LKW PKW: 80 km/h
140 km/h
Bestimme die Geradengleichungen zu LKW und PKW. (Die gegebenen Wertepaare müssen die Gleichung y = m x + b erfüllen.)
4 x oder y = 80 x y = __
Gleichung LKW:
Gleichung PKW:
7 __ y = 3 x – 105
3
oder y = 140 x – 105
Bestimme Zeitpunkt und Treffpunkt rechnerisch.
4 x __ 7 x – 105 = __ 3 3
140 x – 105 = 80 x
x = 105
x = 1,75
y = 140
Zeitpunkt: 11.45 Uhr
58
Treffpunkt: 140 km
(Markusfeld)
Lineare Gleichungssysteme
Komplexe Aufgaben 2 – Bahn 1
Bahnhof Linhausen
Bahnhof Gleichstett
Fahrplan
Fahrplan
AbfahrtGleis 8.00 Gleichstett 1 9.36 8.45 Gleichstett 1 9.57 17.15 Gleichstett 2 18.35
AbfahrtGleis 8.15 Linhausen 1 9.45 8.50 Linhausen 1 10.10 17.25 Linhausen 2 18.37
Dreimal täglich fährt ein Zug von Linhausen in das 96 km entfernte Gleichstett und dreimal täglich einer von Gleichstett nach Linhausen. Die Züge fahren verschieden schnell, aber auf der Strecke hat jeder konstante Geschwindigkeit. Max nimmt montags in Linhausen den ersten Zug. Während er aus dem Fenster schaut, sieht er den ersten Gegenzug aus Gleichstett vorbeifahren. Nach einer Weile kommt auch noch der zweite Gegenzug vorbei. a) Wann findet die erste Zugbegegnung statt? b) Wie weit von Linhausen entfernt befindet sich der Treffpunkt? c) Wie lange dauert es zwischen erster und zweiter Begegnung? d) Wie weit liegen die Treffpunkte auseinander? Strecke in km
100 80 60 40 20
Zeit in min
20
40
60
80
100
120
Löse zuerst die Aufgabe grafisch. a) b) c) d) 20 km 8.54 55 km 17 min Löse die Aufgabe durch Rechnung. Gleichung I (1. Zug von Linhausen nach Gleichstett) y = x
16 ___ Gleichung II (1. Zug von Gleichstett nach Linhausen) y = – 15 x + 112 6 __ Gleichung III (2. Zug von Gleichstett nach Linhausen) y = – 5 x + 156 Lösung der Gleichungssysteme: 16 x = – ___ x + 112 15
6 x + 156 x = – __ 5
x = 54,19
x = 70,91
y = 54,19
y = 70,91 70,91 – 54,19 = 16,72
a) 8.54
Uhr
b) 54 km
c) 17 min
d) 16,72 km
59
Lineare Gleichungssysteme
Komplexe Aufgaben 3 – Textaufgaben 1 Stelle das Gleichungssystem auf und löse es. b) Subtrahiert man von Zähler a) Eine dreistellige Zahl mit und Nenner eines Bruchs der Quersumme 7 ändert die Zahl 5 so erhält man sich nicht, wenn man die einen Bruch mit dem beiden letzten Ziffern verWert __ 2 . Addiert man zum tauscht. Vertauscht man die 3 ersten beiden Ziffern, ergibt Zähler 2 und subtrahiert sich eine um 90 kleinere man vom Nenner 2, ergibt Zahl. sich ein Bruch mit dem 3 Wert __ .
c) Vergrößert man die eine Seite eines Rechtecks um 2 cm und verkleinert die andere um 3 cm, ergibt sich ein Quadrat, das den gleichen Flächeninhalt hat. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks?
2
x + 2 y = 7
3 (x – 5) = 2 (y – 5)
x + 2 = y – 3
100 x + 11 y = 101 y + 10 x + 90
2 (x + 2) = 3 (y – 2)
(x + 2) (y – 3) = x y
x = 3
x = 7
x = 4
y = 2
d) In einem gleichschenkligen Dreieck ist der Winkel an der Spitze halb so groß wie ein Basiswinkel. Wie groß sind die Winkel?
f) Hans sagt zu Horst: „Voriges Jahr warst du dreimal so alt wie ich.“ Horst antwortet: „In vier Jahren werde ich nur noch doppelt so alt sein.“ Wie alt sind die beiden heute?
x + y = 30
3 (x – 1) = y – 1
2 x = y
x – 6 = 2 (y – 6)
2 (x + 4) = y + 4
x = 18
x = 6
y = 72
g) Philipp hat seine Pferdekoppel so eingezäunt, dass an jeder Ecke ein Pfosten steht und alle Pfosten den gleichen Abstand haben. An der kurzen Seite stehen sechs Pfosten weniger als an der langen. Länge und Breite der Koppel verhalten sich wie 4:3. Wie viele Pfosten stehen auf jeder Seite?
y = 12
h) Herr Ruhelos ist ein begeisterter Jogger. Jeden Morgen läuft er entweder 6 km durch den Wald oder 5 km an der Straße entlang. So legt er in 18 Tagen insgesamt 100 km zurück. Wie oft lief er im Wald und wie oft an der Straße?
y = 16
i) Auf der Autobahn von Koblenz nach Köln fährt ein Lastwagen, der von einem 20 Minuten später losgefahrenen PKW in einer Stunde eingeholt wird. 20 Minuten nach dem Überholen hat der PKW 10 km Vorsprung. Welche Geschwindigkeit haben Lastwagen und PKW?
x = y + 6
x + y = 18
3 (x – 1) = 4 (y – 1)
6 x + 5 y = 100
__ 4 x = y 3 1 x – __ 1 y = 10 __ 3 3
x = 25
x = 10
x = 90
ABEN (36 | 72)
60
e) Paul und Paula sind zusammen 30 Jahre alt. Vor 6 Jahren war Paul doppelt so alt wie Paula. Wie alt sind beide heute?
y = 9
x + 2 y = 180
x = 36
y = 8
y = 19 BEN. (90 | 120)
EPAU (7 | 8)
EXTA (25 | 19)
y = 8 KERH (4 | 9)
SANT (6 | 16)
VIELE PAUKER HABEN SPASS AN TEXTAUFGABEN
SPAS (18 | 12)
y = 120
UFGA (10 | 8)
VIEL (3 | 2)
Lineare Gleichungssysteme
(3X3)-Systeme 1 1 Löse das lineare Gleichungssystem. a) 3 x + 2 y + z = 10 b) 2 x + 3 y – 4 z = – 1 2 y = 4 2 y + 3 z = 28 3 z = 9 4 z = 24
c) x + 3 y – 8 z = 2 2 y – z = 6 y – 3 z = – 2
x = 6 x = 1 x = 4
y = 4 y = 2 y = 5
z = 2 z = 3 z = 6
2 Bestimme die Koeffizienten a, b und c so, dass das lineare Gleichungssystem die angegebene Lösung hat. a) a x + 4 y – 3 z = 11 b) a x + y + 3 z = 7 x + b y – 5 z = 4 (3 | 2 | 1) 3 x + b y + z = 2 (1 | – 1 | 2) 3 x – y – c z = 3 x + y + c z = a
a = 2; b = 3; c = 4 a = 2; b = 3; c = 1
3 Bei der Zahlenpyramide wird die Summe zweier benachbarter Zahlen in das darüber liegende Feld eingetragen. Bestimme x, y und z und x + y = z x = 2 ergänze. x + 1 + z = 8 y = 3 y + 4 + z = 12 z = 5
4 In die Ecken sollen Zahlen so eingetragen werden, dass die Summe zweier Eckzahlen die Zahl in der Seitenmitte ergibt. x + y = 5 x + y = 25 x + z = 3 x + z = 36 y + z = 6 y + z = 49
20 8
3 1
z 5 x 2
7 y 3
2
30
z
z
3
6
x 1
12
36
y
49
x 4
5
6
4
y 19
25
5 Von einem Dreieck ABC ist bekannt: c ist 7 cm lang, der Winkel b ist dreimal so groß wie a, der Winkel g ist um 2° kleiner als b. Zeichne das Dreieck.
α + � + γ = 180° � = 3 α γ + 2° = � α = 26°; � = 78°; γ = 76°
76°
26° A
C
78° B
61
Lineare Gleichungssysteme
(3X3)-Systeme 2 1 Löse das lineare Gleichungssystem. a) x – 2 y + 4 z = 9 b) 3 x – y – z = 1 c) 3 x – 2 y + z = 14 x + y – 2 z = – 3 – 2 x + y + 2 z = 9 x – y = – 1 – 5 x – 3 y + 5 z = 4 x – 2 y + z = 0 x + 3 y – 3 z = 4
x = 1
x = 4
x = 7
y = 2
y = 5
y = 8
z = 3
z = 6
z = 9
2 Setze für a nacheinander 4,01; 4,00 und 3,99 ein und löse das lineare Gleichungssystem. x + 2 y + a z = 402 2 x + z = 200 x – y = 200
Lösung zu a = 4,01: x = 0
y = – 200 z = 200
a = 4,00: { } a = 3,99: x = 400
y = 200 z = – 200
3 Kannst du ein Dreieck zeichnen, bei dem gilt: a) Das Doppelte des Winkels a und das Dreifache der Summe von b und g ergibt zusammen 500°. Außerdem ergänzen sich a, das Doppelte von b und das Dreifache von g zu 400°.
ja:
α = 40°; � = 60°; γ = 80°
b) Das Doppelte des Winkels a und das Dreifache der Summe von b und g ergibt zusammen 520°, während das Dreifache des Winkels a und das Doppelte der Summe von b und g zusammen 400° ergeben.
nein,
nicht möglich
4 Bestimme die Funktionsgleichung in der Form y = a x2 + b x + c. a) LGS: 4 a + 2 b + c = 0
a – b + c = – 3 4 a – 2 b + c = – 1
1 __ 3 2 __ y = 4 x + 4 x
b) LGS:
y
a)
2 1
7 – __ 2
4 a + 2 b + c = – 3 a + b + c = 1 a – b + c = – 1
x −3
−2
−1
1
2
3
−1
5 2 5 __ __ y = – 3 x + x + 3
−2
b)
−3
5 Zahlenrätsel Eine dreistellige Zahl hat die Quersumme 18. Die Zahl, die aus ihren beiden ersten Ziffern gebildet wird, ist 11mal so groß wie die letzte Ziffer. Die Summe aus erster und letzter Ziffer ist doppelt so groß wie die mittlere. 666 62
Lineare Gleichungssysteme
Abschlusstest – lineare Gleichungssysteme 1 Lineare Gleichung mit einer Variablen Löse die folgende Gleichung. a) – 7 x – 18 = 66 b) 7 (x – 4) = 20 x + 9 37 x = – ___ x = – 12 13
c) 5 (x + 4) = 9 x – 3 (2 x – 9) 7 x = __ 2
2 Stelle zu den Sachproblemen geeignete Gleichungen auf und löse diese dann. a) Ein symmetrisches Trapez hat einen Umfang von 44 cm. Die Längen der parallelen Seiten unterscheiden sich um 3 cm. Die anderen beiden Seiten sind jeweils 6 cm lang. Gleichung: Lösung: x = 14,5 x + x + 3 + 12 = 44
(lange Seite: 17,5)
b) Ein Schwimmbecken hat zwei Abflüsse. Durch den ersten kann man es in 12 Stunden leeren, durch den zweiten in 3 Stunden. Wie lange dauert das Leeren mit beiden Abflüssen gemeinsam? 1 = 1 1 + __ x ___ Gleichung: Lösung: x = 2,4 (2 h und 24 min) 12 3
(
)
3 Lineare Gleichung mit zwei Variablen Stelle die Lösungsmengen der Gleichung grafisch dar. a) y = 2,5 x + 2 b) 2 x – 3 y = 15 c) 2 x + 3 y = 15 d) 2 x + 6 = – 3 y
y
c)
6
a)
4 2
d)
x −4
−2
2
4
6
b)
−2 −4
4 Stelle zu den folgenden Sachproblemen passende Gleichungen mit zwei Variablen auf. Benenne zunächst die Variablen. a) Marion und Armin wohnen in 30 km entfernten Orten. Um sich zu treffen, fahren sie mit den km km Fahrrädern aufeinander zu. Marion fährt mit 15 ___ . Armin fährt mit 12 ___ .
Armin startet eine Viertelstunde nach Marion.
x
= von Marion zurückgelegte Strecke
y
= von Marion benötigte Zeit
h
h
(
)
1 30 – x = 12 y – __ 4
b) Anna bastelt aus Draht Schmuck. Für Anhänger an einer Halskette benötigt sie 0,3 m; für einen Ohrring 0,25 m. Insgesamt hat sie 12 m Draht.
x = Anzahl
der Anhänger
y = Anzahl
der Ohrringe
0,3 x + 0,25 y = 12
63
Lineare Gleichungssysteme
Abschlusstest – lineare Gleichungssysteme 5 Löse das Gleichungssystem. a) 5 y – 9 = 2 x b) – 3 x + 4 y = 12 c) 5 x = 2 y – 3 x = y + 4 – 5 x – 6 y = 1 x = 0,4 x + 1 29 5 ___ __ x = x = 3 x = – 2 3 17 17 3 ___ y = ___ y = __ y = 3 3 2 d) 0,3 x + 0,25 y = 1 e) x + 4 = 3 y f) 2 y = 4 x + 8 – 0,7 x + 0,375 y = – 10 – 3 y + 2 x = 15 – y = – 8 – 2 x
{ } (keine x = 19 x = 10 23 y = ___ y = – 8 3
Lösung)
6 Stromtarife werden im Wesentlichen durch einen jährlichen Grundpreis und einen Preis pro Kilowattstunde bestimmt. Ein Stromlieferant bietet die folgenden zwei Stromtarife an. a) Analysiere das Angebot. Bei welchen Verbrauchswerten sollte man welchen Tarif wählen? Tarif 1: Grundpreis: Preis pro kWh:
70 € 0,2279 €
Tarif 2: Grundpreis: Preis pro kWh:
93 € 0,2148 €
x:
Anzahl der Kilowattstunden, y € Kosten
Tarif
1: y = 0,2279 x + 70 Bis 1775 kWh ist Tarif 1 günstiger,
Tarif
2: y = 0,2148 x + 93 ab 1776 kWh ist Tarif 2 günstiger.
b) Das Unternehmen bietet noch einen Ökostromtarif an: Grundpreis 98 € und 0,2279 € pro kWh. Familie Achter ist bereit, für diesen Ökostrom 30 € pro Jahr mehr zu zahlen als für den jeweils billigsten anderen Tarif. Untersuche, bei welchen Verbrauchswerten pro Jahr sich Familie Achter für den Ökostrom entscheiden sollte.
Bis
1908 kWh kann Familie Achter den Ökostrom nutzen, ab 1909 kWh ist Tarif 2
mehr
als 30 € günstiger.
7 a) Renate kauft fünf Weizenbrötchen, sieben Roggenbrötchen und eine Tüte Milch. Dafür bezahlt sie 6,40 €. Am nächsten Tag kauft sie sechs Weizenbrötchen, sechs Roggen brötchen und zwei Tüten Milch für 7,20 €. Wie teuer können Weizenbrötchen, Roggenbrötchen und die Milchtüten sein? Gib eine mögliche Lösung an.
Bsp:
Weizenbrötchen 0,50 €; Roggenbrötchen 0,45 €; Tüte Milch 0,75 €
b) Am dritten Tag kauft sie drei Weizenbrötchen und acht Roggenbrötchen für 5,20 €. Bestimme die drei Preise.
64
Ein
Weizenbrötchen kostet 0,40 €, ein Roggenbrötchen 0,50 € und eine
Tüte
Milch 0,90 €.
