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Dominar los problemas matemáticos Este es un material de muestra, propiedad de BOIRA EDITORIAL ©. Queda autorizada la reproducción y uso del mismo hasta el 30 de junio de 2017. Pasada esta fecha, su reproducción total o parcial queda prohibida sin permiso expreso de la editorial. El permiso se dará a escuelas que trabajan con alumnado en situación o riesgo de pobreza.
CUADERNOS QUE ENSEÑAN A PENSAR La serie Dominar los problemas matemáticos está formada por 8 cuadernos, que van desde 1º de primaria hasta los primeros cursos de la ESO, por lo que cubre todo el espectro de los problemas matemáticos. Desde problemas sencillos de suma y resta de una operación, a problemas de porcentajes, áreas, volúmenes, fraccionarios, SMD... Más información en: http://boiraeditorial.com/nuevocurso/problemas-matematicos-mas-informacion
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=dq/dt
x
5 sen θ+
×
mc
~%
b
2 (y-y ) 2 θ ______ 2 a 2 2 2 x -y =a
2
Dominar los problemas matemáticos (5)
Problemas de 2 operaciones: fraccionarios, SMD, áreas… Aprender a pensar con una mente matemática
x
mc
2
2
2
2
x -y =a
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b
5 sen θ+
×
m
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2 (y-y ) 2 θ ______ 2 a x2-y2=a2
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2
Índice
1. Introducción para docentes .................................................................. 4
2. Relaciones en los problemas matemáticos ........................................... 6
3. Pasos para dominar problemas de dos operaciones ........................... 10
3.1. ¡Ahora es tu turno! .................................................................... 12
4. Otros problemas de dos operaciones ................................................. 21
4.1. Problemas con fracciones .......................................................... 21
4.2. Problemas SMD - Sistema sexagesimal ...................................... 30
4.3. Problemas de perímetros y áreas .............................................. 40
5. Practico problemas de dos operaciones ............................................. 48 6. Plantilla para resolver problemas de dos operaciones ........................ 53 7. Batería de problemas ......................................................................... 54 8. Propuesta de evaluación para problemas de dos operaciones ........... 57 9. Solucionario y propuesta de baremación para la prueba de evaluación .............................................................. 58
3
1
INTRODUCCIÓN PARA MAESTROS
¿Por qué invertimos tanto tiempo en enseñar matemáticas y obtenemos resultados tan pobres? ¿Por qué batallamos continuamente con los números, en lugar de entender las relaciones entre los datos? No nos engañemos, resolver y enseñar problemas matemáticos con éxito es posible si se conoce el método adecuado. Este cuaderno, pensado para 5º de Primaria, enseña una metodología útil de forma sencilla y ordenada. Incidiendo en el proceso mental, se consigue explicar cómo resolver con garantías los problemas matemáticos que impliquen dos operaciones. Cuando nos enfrentamos a un problema que requiere más de una operación, es fundamental identificar los datos y sus relaciones. Estas pueden ser de tipo PPT (suma-resta), en las que hay dos o más Partes (P) y un Total (T); o UVT (multiplicación-división), en las que siempre hay una Cantidad Unitaria (U) que se repite una serie de Veces (V) y una Cantidad Total (T). Una vez detectadas, es muy fácil descubrir cómo se interconectan entre sí y elaborar un diagrama de resolución que permita resolver, con certeza, la pregunta del problema. A través de este cuaderno, vuestro alumnado aprenderá a resolver problemas de dos operaciones de varios tipos. En concreto, enseñamos cuál es la forma más eficiente de abordar problemas de fracciones, decimales, sistema métrico decimal, áreas y perímetros con total seguridad. Mediante el cuaderno que tenéis en vuestras manos, asentaremos una base sólida sobre la que crecer matemáticamente. De esta manera, estaremos generando en nuestro alumnado una mente matemática que les permitirá solucionar eficazmente cualquier problema de una o dos operaciones que se les presente. Esta base les posibilitará, en el próximo cuaderno, ser capaces de resolver problemas de dos y tres operaciones por caminos distintos. 4
Concretamente, en este cuaderno, vuestro alumnado aprenderá a: 1.
Leer e identificar todas las relaciones de un enunciado y el papel que cada dato juega en ellas. Incluido los problemas con decimales, fracciones, perímetros, áreas que implican cambios en el sistema métrico decimal.
2. Descubrir cómo se conectan estas relaciones 3. Elaborar diagramas de resolución de dos relaciones 4. Decidir qué operaciones necesita, en qué orden y calcularlas 5. Escribir el resultado y valorar si la respuesta es lógica Ayudemos a nuestro alumnado a crear una mente matemática que les será útil, no solo durante su escolarización, ¡sino durante toda su vida! ¡Empecemos!
Francisco Javier López Apesteguía Autor
Daniel Gabarró Berbegal Supervisor del método
5
2 /
RELACIONES EN LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS
En los problemas matemáticos encontrarás:
PROBLEMAS DE SUMA - RESTA (PPT)
P P
T
Una PARTE (P), que siempre será una cantidad menor que el TOTAL (T). Otra PARTE (P), que siempre será una cantidad menor que el TOTAL (T). Un TOTAL (T), que siempre será mayor que las Partes.
PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN - DIVISIÓN (UVT)
U V
T
Por ejemplo:
Una CANTIDAD UNITARIA (U), que se va repitiendo. El número de VECES (V) que se repite la CANTIDAD UNITARIA. La CANTIDAD TOTAL (T), que incluirá la CANTIDAD UNITARIA un determinado número de VECES.
Por ejemplo:
Sandra ha comprado una nevera y una lavadora. Si el peso de los dos electrodomésticos iguala o supera los 130 kg, se los llevan gratis a casa. La nevera pesa 75 kg. ¿Cuánto debería pesar, como mínimo, la lavadora para que se los lleven a su casa?
Pablo tiene tres kioscos en la ciudad. En cada uno de ellos reparte cada día la misma cantidad de periódicos. Esta mañana le han llegado 135 periódicos. ¿Cuántos repartirá en cada kiosco? ¡Este dato es la
pregunta del problema!
6
P
75
P
T
¡Este dato es
U
?
?
V
3
130
T
135
la pregunta
del problema!
¿Y qué operaciones deberás utilizar?
¡Según lo que te
PROBLEMAS DE SUMA - RESTA (PPT)
1
2
T = P + P
130
=
75
+
55
P = T - P
75
=
130
-
55
RESTA: Cuando te pregunten por la otra PARTE (P)
? P
P = T - P
55
=
130
-
MULTIPLICACIÓN: Cuando te pregunten por la CANTIDAD TOTAL (T)
1
RESTA: Cuando te pregunten por una de las PARTES (P)
? P 3
PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN - DIVISIÓN (UVT)
SUMA: Cuando te pregunten por el TOTAL (T)
? T
pregunten!
75
? T
T = U × V
135
=
45
×
3
DIVISIÓN: Cuando te pregunten por la CANTIDAD UNITARIA (U)
2
?
U
U = T : V 45
=
135
:
3
DIVISIÓN: Cuando te pregunten por las VECES (V)
3
?
V
V = T : U 3
=
135
:
45
7
2
RELACIONES EN LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS
¡RECUERDA!
Los problemas también se diferencian según sean…
...DE UNA OPERACIÓN
...DE DOS OPERACIONES
Tienes todos los datos que necesitas para resolver la pregunta del problema, como sucede en los problemas anteriores.
Uno de los datos que necesitas no está en el enunciado. Debes averiguarlo. Fíjate a continuación.
Decide si los siguientes problemas se resolverán con una o con dos operaciones:
1
Hoy el dentista me ha empastado una muela y ha necesitado 25 minutos. Si ya llevaba otros 18 minutos esperando, ¿cuántos minutos he estado en la consulta?
C Completa el esquema con el
interrogante y los dos datos que necesitas para averiguar su valor. Si uno de los dos datos no lo conoces, escribe un asterisco:
P A ¿Qué dato me preguntan? ............................................................................ ................................................................................
B Para averiguar este dato utilizaré una relación:
PPT, porque no hay una cantidad que se repita UVT, porque sí hay una cantidad que se repite 8
?
18
D Ahora decide si es un problema de una o de dos operaciones:
1 operación: Conozco el valor de los dos datos que necesito para calcular la pregunta del problema. 2 operaciones: No conozco el valor de uno de los datos que necesito para calcular la pregunta del problema.
2
Mi amiga Sara coge el autobús cada día de la semana y hace dos trayectos diarios. Si por cada trayecto paga 1’20€, ¿cuánto dinero se gasta en toda la semana?
A ¿Qué dato me preguntan?
3
En una tienda del hogar venden toallas a 4€. Esta semana han rebajado 1’25€ el precio de cada toalla y han conseguido 96’25€. ¿Cuántas toallas han vendido esta semana?
A ¿Qué dato me preguntan?
...............................................................................
...............................................................................
...................................................................................
...................................................................................
B Para averiguar este dato
B Para averiguar este dato
utilizaré una relación:
utilizaré una relación:
PPT, porque no hay una cantidad que se repita
PPT, porque no hay una cantidad que se repita
UVT, porque sí hay una cantidad que se repite
UVT, porque sí hay una cantidad que se repite
C Completa el esquema con el interrogante
C Completa el esquema con el interrogante
D Ahora decide si es un problema de una
D Ahora decide si es un problema de una
y los dos datos que necesitas para averiguar su valor. Si uno de los dos datos no lo conoces, escribe un asterisco:
o de dos operaciones:
y los dos datos que necesitas para averiguar su valor. Si uno de los dos datos no lo conoces, escribe un asterisco:
o de dos operaciones:
1 operación: Conozco el valor de los dos datos que necesito para calcular la pregunta del problema.
1 operación: Conozco el valor de los dos datos que necesito para calcular la pregunta del problema.
2 operaciones: No conozco el valor de uno de los datos que necesito para calcular la pregunta del problema.
2 operaciones: No conozco el valor de uno de los datos que necesito para calcular la pregunta del problema. 9
3
PASOS PARA DOMINAR PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES Completa el problema en los espacios punteados con la información que creas conveniente
1
LEO E IDENTIFICO
) Leo el problema
¡RECUERDA!
En una granja hay 56 vacas. La semana pasada produjeron, entre todas, 902 litros de leche. Esta semana han producido 80 litros más que la semana anterior. ¿Cuántos litros ha producido cada vaca esta semana?
? RELACIÓN PRINCIPAL:
Contiene la pregunta del problema
RELACIÓN COMPLEMENTARIA:
Nos ayuda a averiguar el valor del dato de enlace, el que une las dos operaciones. Con el valor del dato que nos faltaba, ya podemos resolver la pregunta del problema.
) Identifico los datos y sus relaciones RELACIÓN PRINCIPAL
10
U
Litros que produce UNA ...............................................
V
Vacas ...............................................
T
Litros que producen ...............................................
vaca esta semana ...............................................
...............................................
TODAS las vacas esta ............................................... semana
RELACIÓN
?
........................................
P
Litros producidos la ...............................................
P
Litros de más esta ...............................................
T
Litros que han ...............................................
semana pasada ...............................................
semana ...............................................
producido esta semana ...............................................
902
2
ELABORO UN DIAGRAMA DE RESOLUCIÓN
?
U
V
T
RELACIÓN
............................... (SEGUNDA OPERACIÓN)
3
RELACIÓN COMPLEMENTARIA (PRIMERA OPERACIÓN)
DECIDO LAS OPERACIONES Y CALCULO
Primera operación: RELACIÓN COMPLEMENTARIA
) Calculo:
T=P+ P 4
T
P P
Segunda operación: RELACIÓN PRINCIPAL
) Calculo:
U=T : V
RESPONDO Y VALORO
) Completa la relación principal:
U V
T ¿Es
Litros que produce una vaca esta semana ......................................................................................
) Respuesta:
Vacas ......................................................................................
Esta semana, cada vaca ha producido ................. litros
Litros que producen todas las vacas esta ...................................................................................... semana
T
el resultado de repetir
V veces U ? 56
Sí No 11
3.1
¡AHORA ES TU TURNO! En los siguientes problemas: - Decide si la relación principal, la que contiene la pregunta del problema, es PPT o UVT y coloca el valor de los datos. En el dato correspondiente a la pregunta coloca un interrogante y en los datos que no conozcas su valor, un asterisco. - Por último, marca con un círculo si es un problema de una o de dos operaciones.
4
Una empresa quiere construir un hotel de 150 habitaciones, distribuyendo 25 en cada planta. ¿Cuántas plantas tendrá el hotel?
U
Habitaciones en cada .................................................
.................................................
?
P T
................................................. € todos los meses .................................................
.................................................
2 operaciones
1 operación
7
X 2 operaciones
Este trimestre hemos reciclado 55 botellas de plástico. El trimestre pasado reciclamos 67. ¿Cuántas botellas hemos reciclado hasta el día de hoy?
Personas inscritas el .................................................
Botellas recicladas este .................................................
año pasado .................................................
trimestre .................................................
Personas de más .................................................
Botellas recicladas el .................................................
.................................................
trimestre pasado .................................................
Personas inscritas .................................................
Botellas recicladas .................................................
este año .................................................
hasta hoy .................................................
1 operación
2 operaciones
?
Meses .................................................
las plantas .................................................
El año pasado se inscribieron 25 equipos de seis personas en una prueba de atletismo. Este año se han inscrito 185 participantes. ¿Cuántas personas más se han inscrito este año?
P
12
.................................................
Habitaciones en todas .................................................
X 1 operación
6
€ cada mes .................................................
planta ................................................. Plantas .................................................
T
5
Júlia ha comprado un sofá por 480€. Como quiere que se lo lleven a casa, le cobrarán 84€ más. ¿Cuánto pagará cada mes, si decide pagarlo en un año en mensualidades iguales?
1 operación
2 operaciones
8
En una oficina de correos tienen 8 sacos con 35 cartas en cada uno. Si trabajan 7 carteros y reparten equitativamente el trabajo, ¿cuántas cartas repartirá cada uno?
En el comedor hay 12 mesas en las que caben 96 personas. Este mediodía solo hemos necesitado ocupar 5 mesas. ¿Cuántas personas estábamos en el comedor?
Cartas... .................................................
Personas... .................................................
.................................................
.................................................
Carteros .................................................
Mesas .................................................
.................................................
.................................................
Cartas... .................................................
Personas... .................................................
.................................................
.................................................
1 operación
10
9
1 operación
2 operaciones
En una subasta, Felipe ha comprado una máquina de escribir antigua por 580€. Si luego quisiera revenderla, y ganar 75€ por ella, ¿a qué precio debería venderla?
2 operaciones ¿Puedes inventarte este problema?
11
......................................................................
................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ...................................................................................
€... .................................................
.................................................
U
Caramelos en una bolsa .................................................
.................................................
€... .................................................
Bolsas .................................................
.................................................
.................................................
€... .................................................
Caramelos en todas las .................................................
.................................................
1 operación
2 operaciones
T
? 7
bolsas .................................................
1 operación
X 2 operaciones 13
3.1
¡AHORA ES TU TURNO! Las relaciones de estos seis problemas están en la página siguiente. Elige la letra que corresponde a la relación principal, de entre las seis que aparecen en la parte superior. Haz lo mismo con la relación complementaria, de entre las seis que aparecen en la parte inferior. RELACIÓN PRINCIPAL
14
12
En una biblioteca tienen 85 libros para colocar en 5 estanterías. Esta mañana han cogido prestados 10 de estos libros. ¿Cuántos libros pondrán ahora en cada estantería si en todas colocan el mismo número de libros?
13
Mi abuelo ha recogido del huerto 15 berenjenas y 21 zanahorias. Esta noche, mi madre ha preparado 3 ensaladas y en todas ha puesto la misma cantidad de hortalizas. ¿Cuántas hortalizas ha puesto en cada ensalada?
14
En el recreo hemos hecho 10 grupos de 5 personas cada uno. Si entre los dos cursos somos 85 niños y niñas, ¿Cuántos alumnos/as no han venido hoy al colegio?
15
En una fiesta de cumpleaños, María ha preparado 3 tipos de sándwiches distintos y ha hecho 21 de cada tipo. Al finalizar la fiesta, quedan 15 sándwiches encima la mesa. ¿Cuántos sándwiches se han comido sus invitados?
16
16. En un cine hay 5 salas y, en cada una de ellas, han entrado 85 personas. Si cada entrada vale 10 €, ¿cuánto dinero conseguirán por todas las entradas?
17
Tres días a la semana recorro 21 km en bicicleta. Esta semana, decidí salir también el domingo y recorrí 15 km. ¿Cuántos km he recorrido esta semana?
D
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
E
?
RELACIÓN PRINCIPAL:
U
A
? 3
B
T
x
U
D
P
?
P
15
C
T
? 5
P
E
T
P
15
P
?
T
?
U
F
P
10
?
T
85
T
P
15
U
P
21
RELACIÓN COMPLEMENTARIA:
U
A
85 5
B
T
U
D
T
21 3
T
C
x E
P
10 T
10
U
F
P T
5
85
21 3
T 15
3.1
¡AHORA ES TU TURNO! En los siguientes problemas dibuja tu propio diagrama de resolución, escoge qué operaciones utilizarías en cada caso y calcula. Fíjate en el ejemplo y completa donde sea necesario:
18
Hoy en la panadería hemos gastado 14 docenas de huevos para hacer magdalenas. En el almacén teníamos 264 huevos. ¿Cuántos huevos nos quedan ahora en el almacén?
P
?
T
P
RELACIÓN PRINCIPAL (SEGUNDA OPERACIÓN)
PRIMERA OPERACIÓN
U V
T
RELACIÓN COMPLEMENTARIA (PRIMERA OPERACIÓN)
SEGUNDA OPERACIÓN
T = U x ) Calculo:
) Calculo:
) Elije, de entre estas seis, la operación que corresponde a cada relación
T=P+P
T=U×V
P=T-P
U=T:V
P=T-P
V=T:U
) Completa la relación principal:
16
P
Huevos que hemos usado .................................................
P
Huevos que quedan ahora .................................................
T
Huevos que había en el .................................................
................................................. en el almacén .................................................
almacén .................................................
) Respuesta:
Nos quedan .............. huevos en el almacén
¿Es
T
..................
mayor que
P
y que
P
?
19
La familia de Clara se muda de casa. Tienen 65 cajas para llevar. En un primer viaje cogen 21 cajas y, en el segundo, 23. ¿Cuántas cajas llevarán en el tercer y último viaje?
?
RELACIÓN PRINCIPAL
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(SEGUNDA OPERACIÓN)
PRIMERA OPERACIÓN
(PRIMERA OPERACIÓN)
SEGUNDA OPERACIÓN
) Completa la relación principal: ...............................................
) Calculo:
...............................................
) Calculo:
............................................... ............................................... ............................................... ...............................................
) Respuesta: .............. cajas
llevarán en el último viaje
) Elije y completa una de las dos alternativas:
1 ¿Es
T
el resultado de repetir
V
veces
U
?
..................
2
¿Es
T
mayor que
P
y que
P
?
..................
17
3.1 20
¡AHORA ES TU TURNO! Esta temporada haremos camisetas con nuestro nombre. En total nos gastaremos 204€ y debemos sumarle 36€ más de gastos de envío. Si cada jugadora tiene que pagar 16€, ¿cuántas jugadoras somos?
?
RELACIÓN PRINCIPAL
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(SEGUNDA OPERACIÓN)
PRIMERA OPERACIÓN
(PRIMERA OPERACIÓN)
SEGUNDA OPERACIÓN
) Completa la relación principal: ...............................................
) Calculo:
...............................................
) Calculo:
............................................... ............................................... ............................................... ...............................................
) Respuesta:
Somos .............. jugadoras
) Elije y completa una de las dos alternativas:
1 ¿Es
T
el resultado de repetir
V
veces
..................
2 ¿Es
T
..................
18
mayor que
P
y que
P
?
U
?
21
Un taxista lleva cada hora una media de 12 pasajeros al aeropuerto. Hoy ha trabajado 6 horas y ha conseguido 396€. ¿Cuánto cuesta, de media, cada viaje?
?
RELACIÓN PRINCIPAL
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(SEGUNDA OPERACIÓN)
PRIMERA OPERACIÓN
(PRIMERA OPERACIÓN)
SEGUNDA OPERACIÓN
) Completa la relación principal: ...............................................
) Calculo:
...............................................
) Calculo:
............................................... ............................................... ............................................... ...............................................
) Respuesta:
Cada viaje cuesta, de media, .............. €
) Elije y completa una de las dos alternativas:
1 ¿Es
T
el resultado de repetir
V
veces
U
?
..................
2 ¿Es
T
mayor que
P
y que
P
?
..................
19
3.1 22
¡AHORA ES TU TURNO! En unas oficinas hay 4 ascensores. Entre todos pueden soportar, como máximo, 1.680kg. Si cada persona pesa una media de 70kg, ¿cuántas personas entran en cada ascensor?
?
RELACIÓN PRINCIPAL
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(SEGUNDA OPERACIÓN)
PRIMERA OPERACIÓN
(PRIMERA OPERACIÓN)
SEGUNDA OPERACIÓN
) Completa la relación principal: ...............................................
) Calculo:
...............................................
) Calculo:
............................................... ............................................... ............................................... ...............................................
) Respuesta:
En cada ascensor entran .............. personas
) Elije y completa una de las dos alternativas:
1 ¿Es
T
veces
..................
2 ¿Es
T
..................
20
el resultado de repetir
V
mayor que
P
y que
P
?
U
?
4 4.1
OTROS PROBLEMASDE DOS OPERACIONES PROBLEMAS CON FRACCIONES Fíjate en los pasos para resolver problemas con fracciones y ayúdanos a resolver el problema donde sea necesario. ) Leo el problema
23
Los 5/7 de las entradas de una actuación de circo ya se han vendido. Si en total hay 560 entradas a la venta, ¿cuántas entradas se han vendido?
Identifico los datos y sus relaciones 5 de esos grupos ya se han vendido
5 ____ de 560 7
Las 560 entradas están divididas en 7 grupos
Entradas puestas a la venta
) Elaboro un diagrama 5 T
?
Entradas ....................... vendidas .......................
Grupos ....................... vendidos .......................
U Entradas en ....................... cada grupo .......................
RELACIÓN PRINCIPAL (SEGUNDA OPERACIÓN)
T U
560
Entradas en total ...................................
7 Grupos en total ...................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA (PRIMERA OPERACIÓN) 21
4.1
PROBLEMAS CON FRACCIONES
) Decido las operaciones y calculo PRIMERA OPERACIÓN
U = T :
Entradas
Grupos
en total
570
Entradas en
en total
:
7
T = U x
Entradas en
cada grupo
=
SEGUNDA OPERACIÓN
(Aplicamos el dato de enlace a la 2ª operación)
cada grupo
80
80
Grupos
Entradas
vendidos
vendidas
=
×
) Respondo y valoro si la respuesta es lógica ) Respuesta:
Se han vendido .............. entradas
23 (BIS)
¿Es
T
el resultado de repetir
V
veces
U
?
..................
Entonces, ¿cuántas entradas les quedan por vender?
) Identifico los datos y sus relaciones Si 5 de los 7 grupos se han vendido, eso significa que… 2 de esos grupos no se han vendido Las entradas están divididas en 7 grupos
22
2 ____ de 560 7
Entradas puestas a la venta
) Elaboro un diagrama
?
T
Entradas ....................... sin vender .......................
Grupos sin ....................... vender .......................
U
T U
Entradas en ....................... cada grupo .......................
560
Entradas en total ...................................
7 Grupos en total ...................................
RELACIÓN PRINCIPAL
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
) Decido las operaciones y calculo PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo:
) Calculo:
) Respondo y valoro si la respuesta es lógica ) Completa la relación principal:
U
Entradas en cada ....................................... grupo .......................................
) Respuesta:
Les quedan por vender .............. entradas
Grupos sin vender .......................................
.......................................
T
Entradas sin ....................................... vender .......................................
¿Es
T
el resultado de repetir
V
veces
U
?
..................
23
4.1
PROBLEMAS CON FRACCIONES Fíjate en este otro problema y ayúdanos a completarlo:
) Leo el problema
24
Mario está leyendo una revista sobre dinosaurios. Ya va por la página 48, es decir, se ha leído 6/9 de la revista. ¿Cuántas páginas tiene la revista?
) Identifico los datos y sus relaciones
6 ____ de ? = 48 9
Grupos de páginas leídos Grupos de páginas que tiene la revista
Páginas de la revista que se ha leído
) Elaboro un diagrama
?
T
Páginas ....................... que tiene la ....................... revista
Grupos de páginas ....................... que tiene la revista .......................
U Páginas en ....................... cada grupo .......................
RELACIÓN PRINCIPAL
24
U
T Páginas leídas ...................................
Grupos leídos ...................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
) Decido las operaciones y calculo PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
) Completa la relación principal:
U ) Calculo:
) Calculo:
Páginas... ...............................................
............................................... Grupos... ...............................................
...............................................
T
Páginas... ...............................................
...............................................
) Respondo y valoro si la respuesta es lógica ) Respuesta:
¿Es
La revista tiene .............. páginas
T
el resultado de repetir
V
veces
U
?
..................
¡RECUERDA!
En los problemas de fracciones debes pensar, ¿qué opción me están preguntando?:
2
1
de
=
?
o
de
?=
¡Así sabrás qué operaciones tienes que utilizar! Por ejemplo: 1
2
6 8 6 8
de 120 =
de
?
? = 120
¡PISTA!
T:V=U
U×V=T
120 : 8 = 15
15 x 6 = 90
T:V=U
U×V=T
120 : 6 = 20
20 x 8 = 160
En los problemas de fracciones, el dato de enlace siempre será la U 25
4.1
PROBLEMAS CON FRACCIONES A continuación, completa todos los pasos para resolver un problema de fracciones de dos operaciones.
25
Los 4/6 de los alumnos de un conservatorio son chicos. Si en total hay 240 alumnos, ¿cuántas chicas hay?
CHICAS
GRUPOS DE CHICOS
?
4 ____ 6
?
...............................
...................................
....................... .......................
...................................
...............................
RELACIÓN PRINCIPAL PRIMERA OPERACIÓN
) Calculo:
ALUMNOS EN EL CONSERVATORIO
GRUPOS DE CHICAS
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
SEGUNDA OPERACIÓN
) Completa la relación principal:
U
) Calculo:
Chicas... ............................................... Grupos... ...............................................
T
) Respuesta:
En el conservatorio hay .............. chicas 26
¿Es
T
..................
Chicas... ...............................................
el resultado de repetir
V
veces
U
?
26
Martina es deportista y, durante su entrenamiento, debe saltar 96 vallas. Si ya ha realizado las 2/6 partes del entrenamiento, ¿cuántas vallas le quedan por saltar?
GRUPO DE VALLAS QUE LE QUEDAN POR SALTAR
GRUPO DE VALLAS QUE HA SALTADO
?
VALLAS QUE LE QUEDAN POR SALTAR
...............................
...................................
....................... .......................
...................................
...............................
RELACIÓN PRINCIPAL
PRIMERA OPERACIÓN
) Calculo:
VALLAS QUE SALTA DURANTE EL ENTRENAMIENTO
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
SEGUNDA OPERACIÓN
) Completa la relación principal:
U
) Calculo:
Vallas... ............................................... Grupos... ...............................................
T
) Respuesta:
A Martina le quedan .............. vallas por saltar
¿Es
T
Vallas... ...............................................
el resultado de repetir
V
veces
U
?
..................
27
4.1 27
PROBLEMAS CON FRACCIONES Natalia está cocinando unos batidos para una fiesta de disfraces. Ya lleva 16, es decir, ya ha hecho 4/6 de los batidos que necesita para la fiesta. ¿Cuántos batidos hará en total?
__4__ 6
16
?
?
...............................
...................................
....................... .......................
...................................
...............................
RELACIÓN PRINCIPAL
PRIMERA OPERACIÓN
) Calculo:
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
SEGUNDA OPERACIÓN
) Completa la relación principal:
U
) Calculo:
Batidos... ............................................... Grupos... ...............................................
T
) Respuesta:
Natalia hará .............. batidos en total 28
¿Es
T
..................
Batidos... ...............................................
el resultado de repetir
V
veces
U
?
28
Los trabajadores de una fábrica ya han enviado 200 pedidos, es decir, han terminado 8/12 de los pedidos que les hacen habitualmente cada día. ¿Cuántos pedidos suelen preparar a lo largo de un día?
__8__ 12
200
?
?
...............................
...................................
....................... .......................
...................................
...............................
RELACIÓN PRINCIPAL PRIMERA OPERACIÓN
) Calculo:
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
SEGUNDA OPERACIÓN
) Completa la relación principal:
U
) Calculo:
Pedidos... ............................................... Grupos... ...............................................
T
) Respuesta:
Los trabajadores suelen preparar .............. pedidos al día
¿Es
T
Pedidos... ...............................................
el resultado de repetir
V
veces
U
?
..................
29
4.2
PROBLEMAS SMD - SISTEMA SEXAGESIMAL
¿TE ACUERDAS?
Completa las siguientes tablas con las respectivas unidades y equivalencias.
) Medidas de Longitud × 10 Kilómetro : 10
Hm
× 10 × 10 Decámetro Metro : 10
: 10
× 10 Centímetro
Dm
: 10
Mm : 10
Por lo tanto, ¿cuánto son…? Hm 1,387
Mm
Dm 125,76 25,8 3.400
) Medidas de Peso × 10 Kg
Hectogramo
: 10
× 10 Dag : 10
× 10 Gramo : 10
× 10 Dg
: 10
Por lo tanto, ¿cuánto son…? Dag
Kg 850,3
1.000
Dg
4.500
30
Miligramo Mg : 10
Mg
3240,9
) Medidas de Capacidad × 10 Kilolitro
× 10
× 10 Decalitro Hl
× 10 Decilitro Cl
L
: 10
: 10
: 10
: 10
Mililitro : 10
Por lo tanto, ¿cuánto son…?
L 5.000
Hl
Cl
3,59 802 425,7
) Medidas de Tiempo × 24
× 60 Minutos
Días
: 60 Por lo tanto, ¿cuánto son…?
Días
Minutos
5 24 7 4.320 31
4.2
PROBLEMAS SMD - SISTEMA SEXAGESIMAL Para poder resolver estos problemas necesitas conocer las equivalencias entre las unidades. Fíjate en el siguiente ejemplo: Completa y resuelve el siguiente problema
) Leo el problema
29
Inma sale a correr 5 días a la semana para entrenar. Si cada día recorre 47 hm, ¿cuántos km recorre a la semana?
) Identifico los datos y sus relaciones Relación PRINCIPAL Para averiguar cuántos km recorre por semana, necesito saber cuántos km hace en un día. Pero en el enunciado solo me dicen los hm que hace en un día.
Relación COMPLEMENTARIA Para ello tendré que pasar los hm que recorre en un día a los km que recorre en un día
Dato de enlace
U V
T
Km en un día ................................... Días ................................... Km a la semana ...................................
?
La relación principal contiene la pregunta del problema
32
U V
T
Km en un día ................................... Veces ...................................
10
Hm en un día ...................................
¿Cuántas veces es más grande un Km que un Hm?
) Elaboro un diagrama
?
RELACIÓN PRINCIPAL
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
) Decido las operaciones y calculo PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
U = T :
T = U x
) Calculo:
) Calculo:
47 : 10 = 4,7
) Respondo y valoro si la respuesta es lógica ) Respuesta:
Inma recorre .............. km a la semana
¿Es
T
el resultado de repetir
V
veces
U
?
..................
33
4.2
PROBLEMAS SMD - SISTEMA SEXAGESIMAL AMPLIACIÓN:
30
¿Podrías resolver el problema por un camino distinto? ¡Aquí tienes algunas pistas! Completa donde sea necesario y averígualo. Relación PRINCIPAL
U V
T
Relación COMPLEMENTARIA
U V
Km a la semana .........................................................
.........................................................
10
T
Hm a la semana .........................................................
Hm al día .........................................................
......................................................... Hm a la semana .........................................................
?
RELACIÓN PRINCIPAL
PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo:
) Calculo:
) Respuesta:
Inma recorre .............. km a la semana 34
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
¿Has obtenido el mismo resultado que con el camino anterior? ..................
5
En los siguientes problemas identifica los datos, sus relaciones y completa.
31
La calle principal de mi ciudad mide 4 km de longitud. Cada 200 metros hay un tramo con un semáforo. ¿Cuántos tramos con semáforos hay a lo largo de la calle?
Km
¿Qué dos unidades se
relacionan en el problema y qué operaciones hay entre ellas?
: 1000
x 1000
Relación PRINCIPAL
U V
T
32
Metros en cada tramo que ......................................................... hay un semáforo
......................................................... Metros que mide la calle .........................................................
Relación COMPLEMENTARIA
U V
T
Km en todos los tramos .........................................................
......................................................... Metros en todos los tramos .........................................................
Mi tío es jardinero y tiene muchas regaderas diferentes. La más pequeña tiene capacidad para 40 centilitros y, la más grande, para 4’8 litros. ¿Cuánta capacidad tienen entre las dos regaderas en litros?
L :
x
Relación PRINCIPAL
U V
T
......................................................... ......................................................... .........................................................
Relación COMPLEMENTARIA
U V
T
Litros en la regadera ......................................................... pequeña
Veces .........................................................
.........................................................
35
4.2 33
PROBLEMAS SMD - SISTEMA SEXAGESIMAL Jorge ha comprado un tablón de madera de 6’5 metros. Si quiere cortar 13 listones iguales, ¿cuantos centímetros tendrá cada listón?
:
x
Relación PRINCIPAL
U V
T
34
......................................................... ......................................................... .........................................................
Relación COMPLEMENTARIA
U V
T
......................................................... .........................................................
Maite y Ricardo han quedado para estudiar después de ver una película cada uno en su casa. La película de Maite dura 8.100 segundos y la de Jaime 2 horas. ¿Con cuántos segundos de adelanto saldrá Jaime de su casa si los dos empiezan a ver su película a la vez?
x
36
.........................................................
:
Relación PRINCIPAL
Relación COMPLEMENTARIA
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
35
Para la fiesta de final de curso hemos comprado 6kg de caramelos. Si un paquete de caramelos pesa 150 gramos, ¿cuántos paquetes hemos comprado?
:
x
36
Relación PRINCIPAL
Relación COMPLEMENTARIA
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
Vamos a llenar de agua un recipiente de 2’5 hectolitros. Lo colocamos bajo un grifo que vierte 12’5 litros por minuto. ¿Cuántos minutos tardará en llenarse el recipiente?
x
:
Relación PRINCIPAL
Relación COMPLEMENTARIA
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
37
4.2 37
PROBLEMAS SMD - SISTEMA SEXAGESIMAL El avión de Raúl ha despegado a las 12 horas. Si el vuelo dura 180 minutos, ¿a qué hora llegará a su destino?
:
x
Relación PRINCIPAL
U V
T
38
......................................................... ......................................................... .........................................................
Relación COMPLEMENTARIA
U V
T
......................................................... .........................................................
Carlota quiere coger un libro de una estantería que está muy alta. Para ello, coge un taburete que mide 40 cm. Subida al taburete, y estirada completamente, consigue alcanzarlo. ¿Si sabemos que Carlota mide 1’55m, a cuántos cm se encontraba el libro del suelo?
x
38
.........................................................
:
Relación PRINCIPAL
Relación COMPLEMENTARIA
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
39
Sandra abastece a varios supermercados de la ciudad. Entre todos los supermercados deja 675 kg de hortalizas. Si en cada uno deja 250000 decigramos, ¿a cuántos supermercados abastece?
:
x
40
Relación PRINCIPAL
Relación COMPLEMENTARIA
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
Para escribir una redacción en clase tenemos 55 minutos. Ángela ha sido la más rápida y ha tardado 1620 segundos. ¿Cuántos minutos le han sobrado?
x
:
Relación PRINCIPAL
Relación COMPLEMENTARIA
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
39
4.3
PROBLEMAS DE PERÍMETROS Y ÁREAS
A Problemas de perímetros /
Clasificación de los triángulos: ) Según sus lados:
Equiláteros 3 lados iguales
Isósceles 2 lados iguales
Conociendo los lados, podemos calcular el perímetro, que es la suma de la longitud de sus tres lados
Escalenos 3 lados desiguales
) Según sus ángulos:
Rectángulos 1 ángulo recto
Recuerda que los tres ángulos suman 180º.
Acutángulos 3 ángulos agudos
Un ángulo recto: 90º Un ángulo agudo: - 90º Un ángulo obtuso: + 90º
Obtusángulos 1 ángulo obtuso
Por ejemplo: Calcula el perímetro de un triángulo equilátero cuyo lado mide 18’4 cm.
U
¡Como es un triángulo equilátero, si conoces un lado, también conoces los otros dos!
U U
U
Cm que mide un lado ..............................................................
V
Lados ..............................................................
T 40
18,4
3
U
×
V
=
T
) Respuesta: Cm que miden todos los lados ..............................................................
?
El perímetro mide ................. cm
Fíjate en este otro problema de dos operaciones. Completa donde sea necesario para resolverlo:
41
Álvaro quiere vallar el terreno de su granja, que tiene forma de triángulo equilátero. Cada lado mide 15 metros. Si cada metro de valla le cuesta 58€, ¿cuánto dinero se gastará?
) Identifico los datos y sus relaciones
Relación PRINCIPAL
U V
T
€ que vale un ...................................... metro de valla ...................................... Metros de vallas ...................................... ...................................... € que valen todos ...................................... los metros de valla ......................................
) Elaboro un diagrama
Relación COMPLEMENTARIA
U V
T
...................................... ......................................
15
...................................... ......................................
3
...................................... ......................................
?
15 3
RELACIÓN PRINCIPAL
) Decido las operaciones y calculo
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo:
) Calculo:
) Respondo y valoro ) Respuesta:
Álvaro se gastará .............. € en vallar su terreno
¿Es
T
el resultado de repetir
V
veces
U
?
..................
41
4.3
PROBLEMAS DE PERÍMETROS Y ÁREAS En los siguientes problemas, decide qué relaciones necesitarías (PPT o UVT) para resolverlos según el tipo de triángulo y qué operación utilizarías.
42
Calcula el perímetro de un triángulo escaleno cuyos lados miden 15’2 cm, 18’9 cm y 17’6 cm. .....................................................................
P=T-P
.....................................................................
P=T-P
.....................................................................
T=U×V
.....................................................................
43
T=P+P+P
U=T:V V=T:U
Calcula el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es de 36’6 cm. ..................................................................... .....................................................................
T=P+P P=T-P P=T-P T=U×V
.....................................................................
U=T:V V=T:U
44
Calcula cuánto mide el tercer ángulo de un triángulo isósceles si sabes que los otros dos ángulos miden, entre los dos, 140º. ..................................................................... .....................................................................
T=P+P P=T-P P=T-P T=U×V
.....................................................................
U=T:V V=T:U
42
45
Isaac está envolviendo un regalo en forma de triángulo escaleno y no quiere desperdiciar papel. El lado mayor mide 15,1 cm, mientras que el mediano mide 12,8 cm. Si el perímetro es de 41,6 cm, ¿cuánto mide el lado pequeño? Relación PRINCIPAL
Relación COMPLEMENTARIA
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
PRIMERA OPERACIÓN
46
SEGUNDA OPERACIÓN
Paula quiere calcular el valor de los ángulos de un triángulo isósceles. Sabe que uno de los ángulos iguales mide 40º. ¿Cuánto medirá el ángulo distinto?
Relación PRINCIPAL
Relación COMPLEMENTARIA
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
43
4.3
PROBLEMAS DE PERÍMETROS Y ÁREAS
B Problemas de áreas /
El área es la medida de la superficie que ocupa una figura. Para medir superficies se utiliza como unidad el metro cuadrado (m2). Por ejemplo: ¿Cuántos cm2 caben en el rectángulo?
V
Filas
U U
Cm2 / fila
9
¡TU TURNO!
V
×
47
Filas
4
T
) Respuesta:
36
36 cm2 El área mide .................
Área rectángulo
=
Cm2 en cada fila
Hemos comprado un terreno rectangular de 118,75 m2. Sé que el largo es de 12’5 m. ¿Cuánto mide el terreno de ancho?
) Respuesta:
El terreno mide ................. m de ancho 44
¿Cuántos cm2 caben en el triángulo?
V
Filas
U
T =
T
U
Cm / fila
9
Área triángulo
48
Filas
2
V
2
¡TU TURNO!
Cm2 / fila
Área triángulo
2
T =
U × V
T =
Área rectángulo
Área triángulo
Cm2 en cada fila
×
Filas
4
2
= 18 cm
2
La vela mayor de mi velero es triangular y mide 3’2 m de ancho y 6’5 m de alto. ¿Cuántos metros de tela necesitaré para cubrirla?
2
=
) Respuesta:
Necesitaré ................. m2 de tela 45
4.3 49
PROBLEMAS DE PERÍMETROS Y ÁREAS Mis tíos han comprado una huerta rectangular de 5’5 m de ancho y 8’4 m de largo. Se han gastado 3.696€. ¿A cuánto han pagado el m2?
) Identifico los datos y sus relaciones
Relación PRINCIPAL
U V
T
Relación COMPLEMENTARIA
€ que vale un m ...................................... ...................................... 2
U
Número de m ...................................... ...................................... 2
m2 / fila
€ que valen todos ...................................... los m2 ......................................
) Elaboro un diagrama
? T
RELACIÓN PRINCIPAL
) Decido las operaciones y calculo
V
×
Filas
T
Área rectángulo
=
U
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo:
) Calculo:
) Respondo y valoro ) Respuesta:
Mis tios han pagado el m2 a .............. € 46
¿Es
T
..................
el resultado de repetir
V
veces
U
?
50
Quiero contratar un pintor para que pinte un anuncio triangular en la fachada de mi tienda. El anuncio va a medir 5,8 m de ancho por 2’6 m de alto. Me va a cobrar 38 € por cada m2. ¿Cuánto dinero me va a costar el anuncio?
) Identifico los datos y sus relaciones
Relación PRINCIPAL
U V
T
Relación COMPLEMENTARIA
U
...................................... ...................................... ...................................... ...................................... ...................................... ......................................
) Elaboro un diagrama
T=
Cm2 / fila
Área triángulo
V
×
Filas
2
?
2 RELACIÓN PRINCIPAL
) Decido las operaciones y calculo
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo:
) Calculo:
) Respondo y valoro ) Respuesta:
El anuncio medirá .............. m de ancho
¿Es
T
el resultado de repetir
V
veces
U
?
..................
47
5 51
PRACTICO PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
Ricardo es espeleólogo y está explorando una cueva que tiene 1.800 metros de profundidad. Cada día baja 200 metros. Si ya ha bajado 600 metros, ¿cuántos días le quedan para llegar al fondo de la cueva? Relación PRINCIPAL
Relación COMPLEMENTARIA
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
?
RELACIÓN PRINCIPAL
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo:
) Calculo:
) Respuesta:
A Ricardo le quedan .............. días para llegar al fondo de la cueva
) Escoge entre una de las dos alternativas y completa:
1 ¿Es
T
veces
..................
2 ¿Es
T
..................
48
el resultado de repetir
V
mayor que
P
y que
P
?
U
?
52
En un tren hay 384 plazas libres. En el trayecto de hoy los pasajeros ocupan los 6/8 de los asientos disponibles. ¿Cuántas plazas han quedado sin ocupar?
384
...................................................... ......................................................
__6__ 8
...................................................... ......................................................
__2__ 8
...................................................... ......................................................
?
RELACIÓN PRINCIPAL
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo:
) Calculo:
) Respuesta:
Han quedado sin ocupar .............. plazas
) Escoge entre una de las dos alternativas y completa:
1 ¿Es
T
el resultado de repetir
V
veces
U
?
..................
2 ¿Es
T
mayor que
P
y que
P
?
..................
49
5 53
PRACTICO PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
En una peluquería han cortado, de media, 0’5 decímetros de cabello a cada cliente. Si entre todos han cortado 140 centímetros de melena, ¿a cuántos clientes han atendido hoy?
Relación PRINCIPAL
Relación COMPLEMENTARIA
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
?
RELACIÓN PRINCIPAL
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo:
) Calculo:
) Respuesta:
Hoy han atendido a .............. clientes
) Escoge entre una de las dos alternativas y completa:
1 ¿Es
T
veces
..................
2 ¿Es
T
..................
50
el resultado de repetir
V
mayor que
P
y que
P
?
U
?
54
Para poder trasladar una pareja de jirafas a la vez, el peso de los dos animales no puede superar los 2.300 kg. Si el macho pesa 135.050 decagramos, ¿cuánto debería pesar, como máximo, la hembra?
Relación PRINCIPAL
Relación COMPLEMENTARIA
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
?
RELACIÓN PRINCIPAL
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo:
) Calculo:
) Respuesta:
La hembra debería pesar, como máximo, .............. kg
) Escoge entre una de las dos alternativas y completa:
1 ¿Es
T
el resultado de repetir
V
veces
U
?
..................
2 ¿Es
T
mayor que
P
y que
P
?
..................
51
5 55
PRACTICO PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES Pablo, el amigo de Álvaro, también quiere vallar su terreno que tiene forma de triángulo isósceles. El lado igual mide 15’8 m y, el otro, 12’5 m. Si sabemos que cada metro de valla le costará 62€, ¿cuánto le costará vallar su terreno? Relación PRINCIPAL
Relación COMPLEMENTARIA ...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
...................................................... ......................................................
?
RELACIÓN PRINCIPAL
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo:
) Calculo:
) Respuesta:
A Pablo le costará .............. € vallar su terreno
) Escoge entre una de las dos alternativas y completa:
1 ¿Es
T
veces
..................
2 ¿Es
T
..................
52
el resultado de repetir
V
mayor que
P
y que
P
?
U
?
6. PLANTILLA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
PLANTILLA FOTOCOPIABLE
Nombre: ................................................... Curso: .............
Problema Nº: ............ // Página: ............
1 LEO e IDENTIFICO
En caso de problemas SMD:
Relación PRINCIPAL:
Relación COMPLEMENTARIA:
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
2 RAZONO y ELABORO un PLAN DE RESOLUCIÓN
?
RELACIÓN PRINCIPAL
3 CALCULO PRIMERA OPERACIÓN
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
4 RESPONDO y VALORO Respondo:
...................................................................................
Valoro: Elige y completa una de las 2 alternativas:
T SEGUNDA OPERACIÓN
1 ¿Es
V
U
el resultado de repetir
veces
?
..................
T
2 ¿Es
P mayor que
P y que
?
..................
53
7 56
BATERÍA DE PROBLEMAS
En una carrera por el desierto, 85 atletas han corrido durante 12 días. Si cada uno bebía una media de 5 litros de agua al día, ¿cuántos litros habrán bebido entre todos a lo largo de la carrera?
57
58
Este fin de semana hemos participado en un triatlón de 226’2 km. Hemos hecho 3’8 km de natación, 180’2km de ciclismo y una carrera a pie. ¿Cuántos km habremos hecho a pie?
59
60
Algunos canguros puede dar un salto de hasta 9m de longitud. Hoy hemos visto en un documental, un canguro que saltaba 2/3 de esa longitud. ¿Cuántos metros ha saltado?
Tengo un paquete de piruletas que pesa 17’5 dag. Si tengo 5 amigos, ¿cuántos paquetes del mismo peso, en gramos, puedo dar a cada uno?
61
54
Este mes Héctor ha trabajado 10.560 minutos. Si por cada hora le pagan 12€, ¿cuánto dinero cobrará este mes?
Julia tiene ocho botellas de 500ml de agua cada una. ¿Cuántas botellas de un litro de agua podrá rellenar?
62
63
Mi madre quiere poner un armario en su habitación de 195 cm de alto. Si la pared de su habitación mide 2’10 m, ¿cuántos cm habrá de separación entre el techo y el armario?
64
65
En un paquete de 350 cartulinas, 2/5 partes son blancas. ¿Cuántas cartulinas de color hay en el paquete?
Hoy hemos comprado 9 paquetes de cápsulas de café. Cada paquete contiene 20 cápsulas. Si con esta compra tenemos para 30 días, ¿cuántos cafés bebemos cada día?
66
67
Santi consiguió levantar el año pasado 214kg. Este año ha levantado 17kg más que el año pasado, pero el récord de la competición han sido 264kg. ¿A cuántos kg se ha quedado Santi de batir el récord?
Mi hermano se ha comprado unos auriculares que valen 90€ y un lápiz de memoria que vale 17€. Ahora le quedan 13€. ¿Cuánto dinero tenía antes de comprárselos?
En un restaurante tienen varias cacerolas. La más pequeña tiene capacidad para 25 decilitros y, la más grande, para 7’6 litros. ¿Cuántos litros de diferencia hay entre las dos cacerolas?
55
7
BATERÍA DE PROBLEMAS
68
Me estoy leyendo un libro de 200 páginas. Si ya he leído los 6/8 partes del libro, ¿cuántas páginas me quedan por leer?
69
Durante tres días van a vallar mi campo que tiene forma de triángulo equilátero. Vallarán un lado cada día y tiene, en total, 60 m de perímetro. Si cada metro de valla cuesta 47€, ¿cuánto dinero tendré que pagar cada día?
70
En una carrera de motos, el ganador ha cruzado la meta en el minuto 168 mientras que el segundo clasificado lo ha hecho 180 segundos después. ¿En qué minuto ha cruzado la meta el segundo clasificado?
71
En mi clase, los 2/7 de los alumnos no lleva gafas, es decir, 8 alumnos. ¿Cuántos alumnos y alumnas somos en clase?
72
Sabrina quiere conocer el tercer ángulo de un triángulo escaleno. Si uno de sus ángulos mide 45º y el otro 65º, ¿cuánto mide el tercer ángulo?
73
En un hospital han nacido dos hermanos gemelos. Uno ha pesado 3,300 kg y, el otro, 500 gramos menos que su hermano. ¿Cuántos kg ha pesado el segundo bebé?
¿Te atreves a resolver
los problemas incompletos? - Problemas SMD: Del 31 al 40 - Problemas de perímetros y áreas: Del 42 al 46 En la parte final del solucionario encontrarás la solución de estos problemas
56
8
PROPUESTA DE EVALUACIÓN PARA PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
1
Este verano he estado 3 días en un festival de música. Me he gastado 230€ entre las entradas y la comida. Si las entradas me han costado 125€, ¿cuánto dinero gasté de media cada día en comida?
2
3
Mi tía y yo queremos hacer una ruta por la montaña. El mapa indica que debemos andar 87 dam hasta la colina y, luego, otros 6’5 km hasta el refugio. ¿Cuántos km habremos andado en total?
4
5
La semana pasada, Laura hizo 6 trayectos iguales en coche. Entre todos los trayectos se gastó 144€. Esta semana ha hecho menos trayectos y se ha gastado 96€, ¿cuántos trayectos habrá hecho?
Al volver del viaje de final de curso, mi maleta pesaba 23’5kg, es decir, 1800 gramos más que a la ida. ¿Cuántos kg pesaba mi maleta antes de irme de viaje?
Para hinchar globos de agua, hemos traído un cubo con 6’5 litros de agua. Si cada globo tiene capacidad para 25 cl, ¿cuántos globos podremos hinchar?
57
9
SOLUCIONARIO Y PROPUESTA DE BAREMACIÓN PARA LA PRUEBA DE EVALUACIÓN
SOLUCIONARIO EJERCICIO
SOLUCIÓN
1
P = 25; P =18; T = ? Una operación
2
U = *; V = ?; T = 96,25 Dos operaciones
4
U = 25; V = ?; T = 150 Una operación
6
P = *; P = ?; T = 185 Dos operaciones
7
P = 55; P = 67; T = ? Una operación
8
U = ?; V = 7; T = * Dos operaciones
9
U = *; V = 5; T = ? Dos operaciones
10
P = 580; P = 75; T = ? Una operación
11
Respuesta libre
12
D/E
13
A/B
14
E/C
15
C/D
16
F/A
17
B/F
18
(relación principal) P (?); T (264); P (*)
1) U x V = T / 12 x 14 = 168 2) T – P = P / 264 – 168 = 96 P (168); P (96); T (264) Nos quedan 96 huevos en el almacén
SOLUCIÓN (relación principal) P (?); T (65); P (*)
EJERCICIO 25
(relación complementaria) T (*); P (21); P (23) 1) P + P = T / 21 + 23 = 44 2) T – P = P / 65 – 44 = 21
20
En el conservatorio hay 80 chicas
(relación complementaria) T (*); P (204); P (36)
26
U (16); V (15); T (240) Somos 15 jugadoras
21
(relación principal) U (?) - T (396) - V (*)
1) U x V = T / 12 x 6 = 72 2) T : V = U / 396 : 72 = 5,5
1) T : V = U / 96 : 6 = 16 2) U x V = T / 16 x 4 = 64
U (5,5); V (72); T (396) Cada viaje cuesta, de media, 5,5€ (relación principal) V (?); U (70); T (*)
A Martina le quedan 64 vallas por saltar
27
(relación complementaria) U (*); V (4); T (1680) 1) T : V = U / 1680 : 4 = 420 2) T : U = V / 420 : 70 = 6
1) T : V = U / 560 : 7 = 80 2) U x V = T / 80 x 5 = 400
1) T : V = U / 16 : 4 = 4 2) U x V = T / 4 x 6 = 24
Se han vendido 400 entradas
23 (bis)
1) T:V=U / 560:7=80 2) UxV=T / 80x2=160 160 entradas les quedan por vender
24
1) T : V = U / 48 : 6 = 8 2) U x V = T / 8 x 9 = 72 La revista tiene 72 páginas
(relación principal) U = Batidos en cada grupo = * V = Grupos = 6 T = Batidos en todos los grupos = ? (relación complementaria) U = Batidos en cada grupo = * V = Grupos de batidos hechos = 4 T = Batidos que lleva hechos = 16
U (70); V (6); T (420) En cada ascensor entran 6 personas
23
(relación principal) U = Vallas en cada grupo - * V = Grupos de vallas sin saltar - 4 T = Vallas en todos los grupos sin saltar - ? (relación complementaria) U = Vallas en cada grupo - * V = Grupos de vallas - 6 T = Vallas en todo el entrenamiento - 96
(relación complementaria) T (*); U (12); V (6)
22
(relación principal) U = Alumnos en cada grupo = * V = Grupos de chicas = 2 T = Chicas en todos los grupos = ?
1) T : V = U / 240 : 6 = 40 2) U x V = T / 40 x 2 = 80
(relación principal) V (?); U (16); T (*)
1) P + P = T / 204 + 36 = 240 2) T : U = V / 240 : 16 = 15
SOLUCIÓN
(relación complementaria) U = Alumnos en cada grupo = * V = Grupos de alumnos = 6 T = Alumnos en el conservatorio = 240
P (44); P (21); T (65) 21 cajas llevarán en el último viaje
U = ?; V = 12; T = * Dos operaciones
(relación complementaria) T (*); U (12); V (14)
58
19
U = 1,20; V = *; T = ? Dos operaciones
3
5
EJERCICIO
Natalia hará 24 batidos en total
28
(relación principal) U = Pedidos en cada grupo = * V = Grupos = 12 T = Pedidos en todos los grupos = ? (relación complementaria) U = Pedidos en cada grupo = * V = Grupos de pedidos hechos = 8 T = Pedidos que llevan hechos = 200 1) T : V = U / 200 : 8 = 25 2) U x V = T / 25 x 12 = 300 Los trabajadores suelen preparar 300 pedidos al día
EJERCICIO
SOLUCIÓN
EJERCICIO
SOLUCIÓN
EJERCICIO
SOLUCIÓN
29
(relación principal) U (*); V (5); T (?)
37
(relación principal) P = Hora de salida = 12; P = Horas que dura el vuelo = *; T = Hora de llegada = ?
44
P = Grados que miden entre los dos ángulos = 140; P = Grados que mide el tercer ángulo = ?; T = Grados que miden entre los tres ángulos = 180
(relación complementaria) U (*); V (10); T (47)
(relación complementaria) U = Horas que dura el vuelo = *; V = Veces = 60; T = Minutos que dura el vuelo = 180
Segunda operación: U x V = T / 4,7 x 5 = 23,5 Recorre 23,5 km a la semana
30
(relación principal) U = ?; V = Veces – 10; T = * (relación complementaria) U = 47; V = Días = 5; T = *
38
1) U x V = T / 47 x 5 = 235 2) U = T : V / 235 : 10 = 23,5
31
(relación principal) U = 200; V = Tramos con semáforo = ?; T = *
(relación principal) P = Litros de una regadera = 4,8; P = Litros en la otra regadera = *; T = Litros entre las dos regaderas = ?
39
(relación complementaria) U = *; V = 100; T = 40
33
(relación principal) U = Cm que tendrá un listón = ?; V = Listones que quiere cortar = 13; T = Cm que tendrán todos los listones = * (relación complementaria) U = Metros que tiene un listón = 6,5; V = Veces = 100; T = Centímetros que tiene un listón = ?
34
35
36
40
(relación principal) U = Litros por minuto = 12,5; V = Minutos = ?; T = Litros en total = * (relación complementaria) U = Hl en total = 2,5; V = Veces = 100; T = Litros en total = *
(relación principal) U = Kg que deja en un supermercado = *; V = Supermercados = ?; T = Kg que deja entre todos los supermercados = 675
41
(relación complementaria) P = Cm que mide un lado = 15,1; P = Cm que mide el otro lado = 12,8; T = Cm que miden entre los dos lados = ? (P + P = T)
46
(relación complementaria) U = Metros que mide un lado de la valla; V = Lados de la valla; T = Metros que miden todos los lados de la valla
(relación complementaria) (Opción 1) P = Grados que mide el ángulo igual = 40; P = Grados que mide el otro ángulo igual = 40; T = Grados que miden los dos ángulos iguales = * (P + P = T) (Opción 2) U = grados que mide el ángulo igual; V = ángulos iguales tiene el triángulo isósceles; T = grados miden los dos ángulos iguales (U x V = T)
47
P = Cm que mide un lado = 15,2; P = Cm que mide otro lado = 18,9; P = Cm que mide otro lado = 17,6; T = Perímetro - ? P+P+P=T
43
U = Cm que mide un lado = ?; V = Lados = 3; T = Cm que miden todos los lados = 36,6
U = m de largo = 12,5; V = m de ancho = ?; T - m2 del terreno = 118,75 T : U = V / 118,75 : 12,5 = 9,5
48
U = m de alto = 3,2; V = m de ancho = 6,5; T = m2 = ? T = U x V (: 2) 3,2 x 6,5 (: 2) = 10,4
1) U x V = T / 15 x 3 = 45 2) U x V = T / 58 x 45 = 2.610
42
(relación principal) P = Grados que miden los dos ángulos iguales = *; P = Grados que mide el tercer ángulo = ?; T = Grados que miden entre los tres ángulos = 180 (T – P = P)
(relación principal) P = Minutos que ha tardado Ángel = *; P = Minutos que le han sobrado = ?; T = Minutos para escribir la redacción = 55
(relación principal) U = 58; V = *; T = ?
(relación principal) P = Cm que miden los dos lados = *; P = Cm que mide el lado pequeño = ?; T = Cm de Perímetro = 41,6 (T – P = P)
(relación complementaria) U = Minutos que ha tardado Ángel = *; V = Veces = 60; T = Segundos que ha tardado Ángel = 1.620
(relación principal) U = Gramos que pesa un paquete = 150; V = Paquetes = ?; T = Gramos que pesan todos los paquetes = * (relación complementaria) U = Kg en total = 6; V = Veces = 1.000; T = Gramos en total = *
(relación principal) P = Cm que mide Carlota = *; P = Cm que mide el taburete = 40; T = Cm se encuentra el libro del suelo = ?
(relación complementaria) U = Kg que deja en un supermercado = *; V = Veces = 10.000; T = Dg que deja en un supermercado = 250.000
(relación principal) P = Segundos que tarda Maite = 8.100; P = Segundos de adelanto = ?; T = Segundos que tarda Jaime = * (relación complementaria) U = Horas dura la película de Jaime = 2; V = Veces = 3.600; T = Segundos que dura la película de Jaime = *
45
(relación complementaria) U = Metros que mide Carlota = 1,55; V = Veces = 100; T = Cm que mide Carlota = ?
(relación complementaria) U = 4; V = Veces = 1000; T = *
32
T–P=P
49
(relación principal) U = ?; V = *; T = 3.696 (relación complementaria) U = m de largo = 8,4; V = m de ancho = 5,5; T = m2 que tiene la huerta = ? 1) U x V = T / 8,4 x 5,5 = 46,2 2) T : V = U / 3696 : 46,2 = 80
T:V=U
59
9
SOLUCIONARIO Y PROPUESTA DE BAREMACIÓN PARA LA PRUEBA DE EVALUACIÓN
SOLUCIONARIO EJERCICIO
SOLUCIÓN
EJERCICIO
SOLUCIÓN
EJERCICIO
SOLUCIÓN
50
(relación principal) U = €/ m2 = 38 V = m2 = * T = € / todos los m2 =?
54
(relación principal) P = Kg que pesa el macho = * P = Kg que puede pesar la hembra = ? T = Kg entre los dos = 2.300
62
1) P + P = T / 214 + 17 = 231
63
1) T x V = U / 2,10 x 100 = 210
(relación complementaria) T (m2 del anuncio) * =U (m de ancho) 5,8 x V (m de alto) 2,6 / 2
(relación complementaria) U = Kg que pesa el macho = * V = Veces = 100 T = Dag que pesa el macho = 135.050
3/5 de 350 = ?
65
1) U x V = T / 20 x 9 = 180
66
1) P + P = T / 90 + 17 = 107
67
1) T : V = U / 25 : 10 = 2,5
68
2/8 de 200 = ?
69
1) U x V = T / 47 x 60 = 2820
1) P + P + P = T / 15,8 + 15,8 + 12,5 = 44,1 2) U x V = T / 62 x 44,1 = 2.734,2
70
1) T : V = U / 180 : 60 = 3
56
1) U x V = T / 5 x 12 = 60
71
1) T : V = U / 8 : 2 = 4
57
1) T : V = U / 10560 : 60 = 176
72
1) P + P = T / 45 + 65 = 110
73
1) T : V = U / 500 : 1000 = 0,5
1) T : V = U / 135050 : 100 = 1.350,5 2) T – P = P / 2.300 – 1.350,5 = 949,5
2) U x V = T 38 x 7,54 = 286,52 € (relación principal) U = Metros que baja cada día = 200 V = Días = ? T = Metros que le quedan por bajar = *
55
(relación complementaria) P = Metros que ha bajado = 600 P = Metros que le quedan por bajar = * T = Metros que tiene la cueva = 1800
384 – Plazas disponibles 6/8 – Plazas ocupadas 2/8 – Plazas libres (relación principal) U = Plazas en cada grupo = * V = Grupos de plazas sin ocupar = 2 T = Plazas sin ocupar = ? (relación complementaria) U = Plazas en cada grupo = * V = Grupos de plazas = 8 T = Plazas libres = 384 1) T : V = U / 384 : 8 = 48 2) U x V = T / 48 x 2 = 96
53
(relación principal) U = Centímetros cortados a cada uno = * V = Clientes = ? T = Centímetros cortados a todos = 140 (relación complementaria) U = Decímetros cortados de cada cliente = 0,5 V = Veces = 10 T = Centímetros cortados de todos los clientes = * 1) U x V = T / 0,5 x 10 = 5 2) T : U = V / 140 : 5 = 28
60
(relación principal) U = € que vale un metro = 62 V = Metros de valla = * T = € que valen todos los metros = ? (relación complementaria) P = Metros que mide un lado igual = 15,8 P = Metros que mide el otro lado igual = 15,8 P = Metros que mide el tercer lado = 12,5 T = Perímetro del terreno = ?
1) T – P = P / 1800 – 600 = 1200 2) T : U = V / 1200 : 200 = 6
52
2) T – P = P / 210 – 195 = 15
64
1) U x V / 2 = T 5,8 x 2,6 / 2 = 7,54 m2
51
2) T – P = P / 264 – 231 = 33
2) U x V = T / 60 x 85 = 5.100
2) U x V = T / 176 x 12 = 2.112
58
1) P + P = T / 3,8 + 180,2 = 184 2) T – P = P / 226,2 – 184 = 42,4
59
1) T : V = U / 9 : 3 = 3
60
1) U : V = T / 17,5 x 10 = 175
61
1) T : V = U / 500 : 1.000 = 0,5
2) U x V = T / 3 x 2 = 6
2) T : V = U / 175 : 5 = 35
2) U x V = T / 0,5 x 8 = 4
1) T : V = U / 350 : 5 = 70 2) U x V = T / 70 x 3 = 210
2) T : V = U / 180 : 30 = 6
2) P + P = T / 107 + 13 = 120
2) T – P = P / 7,6 – 2,5 = 5,1
1) T: V = U / 200 : 8 = 25 2) U x V = T / 25 x 2 = 50
2) T : V = U / 2820 : 3 = 940
2) P + P = T / 168 + 3 = 171
2) U x V = T / 4 x 7 = 28
2) T – P = P / 180 – 110 = 70
2) T – P = P / 3,300 – 0,5 = 2,800
PROBLEMAS INCOMPLETOS PARA RESOLVER EJERCICIO
SOLUCIÓN
EJERCICIO
SOLUCIÓN
31
1) U x V = T / 4 x 1.000 = 4.000
44
1) T – P = P
2) T : U = V / 4.000 : 200 = 20
32
1) T : V = U / 40 : 100 = 0’4 2) P + P = T / 4’8 + 0’4 = 5’2
45
5’2 litros entre las dos regaderas
33
1) U x V = T / 6’5 x 100 = 650 2) T : V = U / 650 : 13 = 50 50 cm cada listón
180 – 140 = 40 El tercer ángulo mide 40º
20 tramos con semáforo
1) P + P = T / 15’1 +12’8 = 27’9 2) T – P = P / 41’6 – 27’9 = 13’7 El lado pequeño mide 13’7 cm
46
1) (Opción 1) P + P = T / 40 + 40 = 80 (Opción 2) U x V= T / 40 x 2 = 80 2) T – P = P / 180 – 80 = 100 El otro ángulo mide 100º
34
1) U x V = T / 2 x 3.600 = 7.200 2) T – P = P / 8.100 – 7.200 = 900 900 segundos de adelanto
35
1) U x V = T / 6 x 1.000 = 6.000 2) T : U = V / 6000 : 150 = 40 40 paquetes de caramelos
36
1) U x V = T / 2’5 x 100 = 250 2) T : U = V / 250: 12’5 = 20 20 minutos
37
1) T : V = U / 180 : 60 = 3 2) P + P = T / 12 + 3 = 15 Llegará a las 15 h
38
1) U x V = T / 1’55 x 100 = 155 2) P + P = T / 155 + 40 = 195 A 195 cm del suelo
39
1) T : V = U / 250.000 : 10.000 = 25 2) T : U = V / 675 : 25 = 27 Abastece a 27 supermercados
40
1) T : V = U / 1620 : 60 = 27 2) T – P = P / 55 – 27 = 28 Le han sobrado 28 minutos
42
1) P + P + P = T 15’2 + 18’9 + 17’6 = 51’7 51’7 cm de perímetro
43
1) T : V = U 36’6 : 3 = 12’2 Cada lado mide 12’2 cm
61
9
SOLUCIONARIO Y PROPUESTA DE BAREMACIÓN PARA LA PRUEBA DE EVALUACIÓN
RESPUESTAS A LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN DE PROBLEMAS DE UNA OPERACIÓN 1. T – P = P / 230 – 125 = 105 | T : V = U / 105 : 3 = 35 Respuesta: 35€ al día 2. T : V = U / 144 : 6 = 24 | T : U = V / 96 : 24 = 4 Respuesta: 4 trayectos 3. T : V = U / 87 : 100 = 0,87 | P + P = T / 6,5 + 0,87 = 7,37 Respuesta: 7,37 km 4. T : V = U / 1800 : 1000 = 1,8 | T – P = P / 23,5 – 1,8 =21,7 Respuesta: 21,7 kg 5. U x V = T / 6’5 x 100 = 650 | T : U = V / 650 : 25 = 26 Respuesta: 26 globos
ORIENTACIÓN PARA LA BAREMACIÓN DE LAS PRUEBAS DE EVALUACIÓN DE PROBLEMAS DE UNA OPERACIÓN
ORIENTACIÓN PARA LA BAREMACIÓN DE UN SOLO PROBLEMA
Cada prueba consta de cinco problemas, por lo que asignaremos a cada problema el valor de 2 puntos. Estos 2 puntos se repartirán entre los distintos pasos del problema de forma equitativa.
Cómo repartiremos el valor de cada punto en un problema
1. Leo e identifico: 0,5 puntos - 0,25 para los datos descriptivos. - 0,25 para los datos numéricos. 2. Razono: 0,75 puntos - 0,25 para el diagrama. - 0,50 para la operación elegida. 3. Calculo: 0,25 puntos 4. Contesto y valoro: 0,5 puntos - 0,25 para la respuesta. - 0,25 para la valoración.
PUNTUACIÓN MÁXIMA 2 puntos/problema × 5 problemas = 10 puntos. NOTA: Fallar en cualquier paso del problema supondrá perder la puntuación de los pasos posteriores al mismo. Ejemplo: si fallo en el paso 2. Razono, en Elegir la operación, y lo anterior lo tengo bien, tendría 0,75 puntos (0,5 puntos del paso 1 y 0,25 puntos de la primera parte del paso 2), independientemente de que los pasos posteriores estén bien o mal solucionados.
62
1. Leo e identifico: 0,3 puntos - 0,2 para los datos descriptivos. - 0,1 para los datos numéricos. 2. Razono: 0,3 puntos - 0,1 para el diagrama. - 0,2 para la operación elegida. 3. Calculo: 0,2 puntos 4. Contesto y valoro: 0,2 puntos - 0,1 para la respuesta. - 0,1 para la valoración.
NOTA: Fallar en cualquier paso del problema supondrá perder la puntuación de los pasos posteriores al mismo.
