DISTRIBUCIONES DISCRETAS. PROBABILIDAD BINOMIAL 1. Hallar la media y la varianza de una variable x que tiene la siguiente función de probabilidad: X P

2 0’2

3 0’3

7 0’5

Solución. Media o Esperanza matemática.

µ=

n

∑ x i ·p i = 2 ⋅ 0'2 + 3 ⋅ 0'3 + 7 ⋅ 0'5 = 4'8 i =1

Varianza

σ2 =

n

∑ x i2 ·p i − µ 2 = 2 2 ⋅ 0'2 + 3 2 ⋅ 0'3 + 7 2 ⋅ 0'5 − 4'8 2 = 4'96 i =1

2. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente función de probabilidad: X 2 3 5 6 P 0’2 0’1 0’4 0’2 a) Hallar la función de distribución de dicha variable. Solución. Función de distribución ó probabilidad acumulada (F(x)).

xi

pi

F(x) = p(x≤ ≤xi)

2 3 5 6 8

0’2 0’1 0’4 0’2 0’1

0’2 0’3 0’7 0’9 1

b) Representar en un diagrama la función de distribución. Solución.

8 0’1

c)

Hallar la media y la desviación típica.

Solución.

xi

pi

xi·pi

xi2·pi

2 3 5 6 8

0’2 0’1 0’4 0’2 0’1

0’4 0’3 2’0 1’2 0’8

0’8 0’9 10 7’2 6’4

∑ p i = 1 ∑ x i ⋅ p i = 4'7 ∑ x i2 ⋅ p i − µ 2 = 3'21 ∑ x i ⋅ p i = 4'7 σ 2 = ∑ x i2 ⋅ p i − µ 2 = 3'21 µ=

3. Considérese el experimento que consiste en lanzar dos dados y anotar el resultado de la suma de las caras superiores. Hallar:

a) La función de probabilidad y su representación. Solución.

xi pi

2

1 36

3

2

36

4

3

36

5

4

36

6

5

36

7

6

36

8

5

36

9

4

36

10

11

12

3

2

1 36

36

36

b) La función de distribución F(x) y su representación. Solución.

xi Fi

2

3

3

1 36

36

4

6

5

10

36

6

36

15

7

21 36

36

8

9

26

30

36

36

10

33

36

c) La media y la desviación típica de la distribución. Solución.

xi

pi

xi·pi

xi2·pi

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0’028 0’056 0’083 0’111 0’139 0’167 0’139 0’111 0’083 0’056 0’028

0’056 0’167 0’333 0’555 0’833 1’167 1’111 1 0’833 0’611 0’333

0’111 0’5 1’333 2’778 5 8’167 8’889 9 8’333 6’722 4

∑ pi = 1

∑ x i ⋅ pi = 7

∑ x i2 ⋅ p i =54'83

Media:

µ=

n

∑ x i ·p i = 7 i =1

Desviación típica: n

σ=

∑ x i2 ·p i − µ 2 = i =1

54'83 − 7 2 = 2'42

11

35

36

12 1

d) Sea x la variable aleatoria que expresa la suma del número de puntos de los dos dados, hallar las siguientes probabilidades: p(x≤5); p(x≥10); F(4); F(−2); F(19) Solución. 10 5 • p(x ≤ 5) = F(5) = = 36 18 30 1 • p(x ≥ 10 ) = p(x < 10) = 1 − p(x < 10) = 1 − F(9 ) = 1 − = 36 6 6 1 • F(4 ) = = 36 6 • F(−2 ) = 0 • F(19) = 1 4. Sea x una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es X P

0 0’1

1 0’2

2 0’1

3 0’4

4 0’1

a) Calcular y representar gráficamente la función de distribución. Solución.

xi

pi

Fi (p(x ≤ xi))

0 1 2 3 4 5

0’1 0’2 0’1 0’4 0’1 0’1

0’1 0’3 0’4 0’8 0’9 1’0

b) Calcular las siguientes probabilidades: p(x