Aplicaciones geométricas. Problemas 1. Calcular las ecuaciones de la tangente y de la normal de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

(

)

i.

f ( x ) = Ln 3x 2 + 1

en x = 0

ii.

x f ( x ) = tg  2

iii.

f ( x ) = x 3 + 3x 2 − 5x − 4

iv.

f (x) =

v.

f (x) =

vi.

f (x) = x ⋅ e x

en x =

(x − 1)⋅ (x + 1) x+2 x −1 x +1

en en

π 2 en x = 2

en x = 2 x =1 x = −1

2. Hallar la derivada de la función f(x) = x3 en (0,f(0)), ¿Cuál es la ecuación de la tangente en ese punto? ¿Atraviesa la curva? 3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva f(x)=x3−6x²+16x−11 en su punto de inflexión. ¿Existe siempre en una cúbica un punto de inflexión? 1 3. Considérese la hipérbola y = . Hallar la ecuación de la secante a dicha curva que pasa por los x puntos de abscisas x = 1 y x = 2. Hallar también las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola que son paralelas a dicha secante. 4. Dada la curva de ecuación f(x) = x3, hallar: a) La pendiente de la recta determinada por los puntos (0 , −1) y (a , a3) b) Las coordenadas del punto de la curva en el que la recta tangente pasa por el punto (0,-1). 5. Se ha trazado una recta tangente a la curva y=x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,-2). Hallar el punto de tangencia. 6. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y=x²+x+1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. 7. Hallar los puntos de la curva y =x3−2x+2 en los que su tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. 8. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x² − 5x + 6 paralela a la recta de ecuación 3x + y − 2 = 0. 9. Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la parábola y=x² que pasan por el punto (4,7). ¿Cuáles son las coordenadas de sus puntos de tangencia? 10. Determinar los valores del parámetro k para que las tangentes a la curva y=kx3-kx²+7x-18 en los puntos de abscisas x=1 y x=2 sean paralelas. 11. ¿En qué punto de la curva y=Lnx la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1,0) y (e,1)? 12. Hallar el área del triángulo determinado por los dos ejes coordenados y la tangente a la curva xy=1 en el punto x=1.

13. Representar la gráfica de la función: y=x²−7x+1 a) ¿A partir de qué valores positivos de x es y>0 siempre? b) ¿La recta y=x puede ser paralela a la tangente de dicha curva en algún punto que tenga las dos coordenadas positivas? c) ¿Existe algún punto de la curva con tangente paralela a la recta x=1? 14. (Puntuación máxima; 3 puntos) Dada la curva de la ecuación y = −x3 + 26x, calcúlese las rectas tangentes a la misma, que sean paralelas a la recta de ecuación y = −x. 15.. ( Puntuación máxima: 3 puntos)  x+2 Si x ≤ 2  Se considera la función f ( x ) =  x − 1 3x ² − 2 x  Si x > 2  x+2 Calcúlese la ecuación de la recta tangente a f ( x ) en el punto x = 3