Completeness for Parallel Access to NP and Counting Class Separations Holger Spakowski Institut f¨ur Informatik Heinrich-Heine-Universit¨at D¨usseldorf Universit¨atsstraße 1 40225 D¨usseldorf [email protected] Abstract: Die Dissertation besch¨aftigt sich mit Problemen, die vollst¨andig f¨ur die Komplexit¨atsklasse PNP sind, sowie mit der Separation von Z¨ahlklassen. PNP ist die   Klasse der Probleme, die sich effizient mit parallelem Zugriff auf NP l¨osen lassen. Wir untersuchen die Komplexit¨at von mit Wahlsystemen assoziierten Problemen. Wahlsysteme sind Vorschriften, nach denen aus einer Kandidatenmenge die Gewinner einer Abstimmung bestimmt werden k¨onnen. Wir beweisen, daß das GewinnerProblem f¨ur die Wahlsysteme von Kemeny und Young beide vollst¨andig f¨ur die Klasse PNP sind. Weiterhin betrachten wir zwei prominente Heuristiken f¨ur die Approxima tion des NP-vollst¨andigen Problems der minimalen Knoten¨uberdeckung. Wir weisen nach, daß gewisse Entscheidungsprobleme, die mit der Qualit¨at der Approximation durch diese Heuristiken in Zusammenhang stehen, vollst¨andig f¨ur PNP sind.  Der letzte Teil der Dissertation beantwortet Fragen, die in der einflußreichen Arbeit von Fenner, Fortnow und Kurtz im Jahre 1994 aufgeworfen wurden: Wir zeigen, daß die Z¨ahlklassen LWPP und WPP nicht uniform gap-definierbar sind. Desweiteren konstruieren wir ein Orakel, relativ zu dem WPP nicht abgeschlossen unter polynomialzeitbeschr¨ankter Turing-Reduzierbarkeit ist. Dies hat zur Folge, daß ein Beweis f¨ur die Gleichheit der a¨ hnlich definierten Klassen LWPP und WPP nichtrelativierbar sein muß. Wir erhalten diese Resultate durch Anwendung einer bekannten Technik, bei der Orakel-Turingmaschinen in multilineare Polynome mit kleinem Grad kodiert werden. Wir beweisen dazu eine neue kombinatorische Eigenschaft solcher Polynome.

1 Einleitung: Die Klasse PNP  Eines der zentralen Ziele der Komplexit¨atstheorie ist es, den Ressourcenbedarf (¨ublicherweise Zeit oder Speicherplatz) zum L¨osen von wichtigen Berechnungsproblemen zu bestimmen. Wir w¨urden insbesondere gerne in der Lage sein, effizient l¨osbare von nicht effizient l¨osbaren Problemen zu unterscheiden. Ein Entscheidungsproblem wird gew¨ohnlich als effizient l¨osbar angesehen, wenn es eine deterministische Turingmaschine gibt, die dieses Problem in polynomialer Zeit, gemessen an der Eingabegr¨oße, l¨osen kann. Die Klasse dieser Probleme wird mit P bezeichnet. Eine andere fundamentale Komplexit¨atsklasse ist die Klasse NP. Die Klasse NP enth¨alt

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alle Entscheidungsprobleme, die von einer nichtdeterministischen Turingmaschine in polynomialer Zeit akzeptiert werden k¨onnen. Eine a¨ quivalente Definition f¨ur NP ist: NP ist die Klasse aller Probleme, deren “ja”-Instanzen sich in polynomialer Zeit verifizieren lassen. Wir betrachten als Beispiel das Entscheidungsproblem Vertex Cover. Sei G ein beliebiger ungerichteter Graph. Eine Knoten¨uberdeckung (vertex cover) von G ist eine Knotenmenge V  mit der Eigenschaft, daß jede Kante in G wenigstens einen Knoten aus V  enth¨alt. Mit τ (G) bezeichnen wir die Anzahl der Knoten einer kleinsten Knoten¨uberdeckung von G. Das Entscheidungsproblem Vertex Cover ist nun folgender-

v6

v5

v4

v1

v2

v3

Abbildung 1: Graph G mit einer kleinsten Knoten¨uberdeckung {v1 , v2 , v5 } der Gr¨oße 3

maßen definiert: Instanz: Ein ungerichteter Graph G und eine Zahl k ∈ . Frage: Gilt τ (G) ≤ k? Dieses Problem hat die folgende entscheidende Eigenschaft: Falls die Antwort auf die Frage “ja” ist, dann existiert ein Beweis f¨ur die Korrektheit der “ja”-Antwort, der in polynomialer Zeit verifiziert werden kann. Ein solcher Beweis besteht hier einfach aus einer Knoten¨uberdeckung von G mit ≤ k Knoten. Damit ist gezeigt, daß Vertex Cover in NP liegt. Offensichtlich gilt P ⊆ NP. Aber es ist nicht bekannt, ob diese Inklusion echt ist, d.h. wir wissen nicht, ob es NP-Probleme gibt, die nicht in polynomialer Zeit mit einem (deterministischen) Algorithmus l¨osbar sind. Wir haben es hier mit einem der wichtigsten Probleme der theoretischen Informatik und der Mathematik zu tun. Die Bedeutung dieses P versus NP Problems r¨uhrt zum großen Teil daher, daß es hunderte praktisch und theoretisch interessante Probleme gibt (z.B. das Problem des Handelsreisenden, Scheduling-Probleme, das Erf¨ullbarkeitsproblem f¨ur boolesche Formeln, Graphf¨arbbarkeitsprobleme), die zwar in NP liegen, f¨ur die aber bisher noch kein Polynomialzeitalgorithmus gefunden worden ist. Man vermutet allgemein, daß P = NP gilt. Ein Beweis dieser Vermutung scheint jedoch mit den aktuell verf¨ugbaren mathematischen Methoden nicht m¨oglich zu sein. Diese Tatsache motivierte die Suche nach den schwierigsten Problemen in NP, die so genannten NP-vollst¨andigen Probleme. F¨ur die Definition der NP-Vollst¨andigkeit ben¨otigen wir das Konzept der komplexit¨atsbeschr¨ankten Reduktion, welche eine wichtige Methode

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zum Vergleich der Schwierigkeit von Problemen darstellt. Eine Reduktion ist eine Umformung eines Problems in ein anderes Problem. Es gibt verschiedene Arten von Reduktionen. Die wichtigste ist die polynomialzeitbeschr¨ankte many-one-Reduktion. 1 Ein Problem A ist auf ein Problem B polynomialzeit many-one reduzierbar (formal: A ≤pm B), wenn eine polynomialzeitberechenbare Funktion f existiert mit x ∈ A genau dann wenn f (x) ∈ B. Falls A ≤pm B gilt, dann ist A nicht (viel) schwerer als Problem B, denn jeder Algorithmus f¨ur B kann (zusammen mit Funktion f ) dazu verwendet werden, das Problem A zu l¨osen. Insbesondere folgt aus B ∈ P stets A ∈ P. Oder a¨ quivalent: A ∈ / P impliziert B∈ / P. Ein Problem A ist NP-vollst¨andig, falls folgendes gilt: 1. A ist NP-hart2 , d.h. jedes Problem in NP ist auf A polynomialzeit many-one reduzierbar, und 2. A ∈ NP. Der Nachweis der NP-Vollst¨andigkeit eines NP-Problems A liefert ein starkes Indiz daf¨ur, daß es f¨ur A keinen Polynomialzeitalgorithmus gibt: Die Existenz eines solchen Algorithmus w¨urde nach sich ziehen, daß jedes NP-Problem in polynomialer Zeit l¨osbar ist, was P = NP bedeuten w¨urde. Die Theorie der NP-Vollst¨andigkeit wurde durch die Arbeiten von Cook, Karp und Levin initiiert. Cook [Coo71] bewies, daß das Erf¨ullbarkeitsproblem f¨ur boolesche Formeln (SAT) NP-vollst¨andig ist. Durch Reduktion von diesem Erf¨ullbarkeitsproblem bewies er, daß das Problem Subgraph Isomorphism ebenfalls NP-vollst¨andig ist. Aufbauend auf Cooks Resultat zeigte Karp [Kar72] die NP-Vollst¨andigkeit f¨ur 20 weitere nat¨urliche Probleme (darunter zum Beispiel das oben erw¨ahnte Problem vertex cover). Hiermit demonstrierte er, daß NP-Vollst¨andigkeit ein weit verbreitetes Ph¨anomen ist. Wir bemerken, daß Levin [Lev73] nahezu gleichzeitig und unabh¨angig zu a¨ hnlichen Resultaten gelangte. Seit den 1970er Jahren wurden hunderte weitere Probleme NP-vollst¨andig nachgewiesen [GJ79]. Kommen wir zur¨uck auf das oben angegebene Problem Vertex Cover. Wir erw¨ahnten schon, daß dieses Problem NP-vollst¨andig ist. Wir a¨ ndern nun die Fragestellung ein wenig: Instanz: Ein ungerichteter Graph G. Frage: Ist τ (G) ungerade? Wir nennen dieses Entscheidungsproblem Odd Minimum Vertex Cover. Was ist die Komplexit¨at dieses Problems? Man kann zeigen, daß Odd Minimum Vertex Cover NP-hart ist. Es ist jedoch nicht klar, ob dieses Problem auch NP-vollst¨andig ist, d.h. ob es in NP enthalten ist. Es ist nat¨urlich einfach, einen effizient verifizierbaren Beweis f¨ur die Behauptung τ (G) ≤ k anzugeben. Dies hilft uns aber nicht unmittelbar weiter wenn wir die Parit¨at von τ (G) wissen m¨ochten. Alle Versuche, das Problem Odd Minimum Vertex Cover in NP zu plazieren scheiterten. 1 Wenn nichts anderes gesagt ist, sind mit Reduktionen im folgenden immer polynomialzeitbeschr¨ ankte manyone-Reduktionen gemeint. 2 Oft auch “NP-schwer” genannt.

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Es gibt eine komplexit¨atstheoretische Erkl¨arung f¨ur dieses Scheitern: Wagner [Wag87] zeigte, daß das Problem Odd Minimum Vertex Cover vollst¨andig f¨ur PNP ist, eine Komplexit¨atsklasse, die vermutlich eine echte Obermenge von NP darstellt. Die Klasse PNP ist die Klasse aller Probleme, die sich von Polynomialzeitalgorithmen mit parallelem Zugriff auf ein NP-Orakel l¨osen lassen. Die Bezeichnung “paralleler Zugriff” r¨uhrt daher, daß die im Laufe der Berechnung gestellten Fragen nicht von den Antworten auf zuvor gestellte Fragen abh¨angen. andigkeit ist analog dem der NP-Vollst¨andigkeit. Das heißt, ein Der Begriff der PNP -Vollst¨ NP Problem A ist P -vollst¨andig, falls folgendes gilt: NP 1. A ist PNP -hart, d.h. jedes Problem in P ist auf A polynomialzeit many-one reduzierbar, und

2. A ∈ PNP . Die PNP andigen Probleme geh¨oren zu den schwierigsten Problemen in PNP -vollst¨ . Ein NP P -vollst¨andiges Problem kann zum Beispiel nicht in der kleineren Klasse NP liegen, außer es gilt PNP = NP. Wir zeigen nun mit folgendem Orakel-Algorithmus, daß das Problem Odd Minimum enthalten ist. Als Orakel nehmen wir das Problem Vertex Cover tats¨achlich in PNP Vertex Cover. Sei ein Graph G mit n Knoten gegeben. Nat¨urlich gilt τ (G) < n. Wir erstellen die folgende Liste von Orakelfragen: G, 0, G, 1, . . . , G, n − 1. Wir u¨ bergeben diese Liste an das Orakel Vertex Cover, und das Orakel gibt die Antworten auf die Fragen zur¨uck, also beispielsweise “nein”, “nein”, . . . , “nein”, “ja”, . . . , “ja”.3 Mit dieser Antwortliste in der Hand ist es einfach, τ (G) zu bestimmen. Wir akzeptieren nun G gdw. τ (G) ungerade ist. arte des Problems Odd Minimum Vertex Cover kommen, Bevor wir zur PNP -H¨ NP erw¨ahnen wir einige wichtige Eigenschaften der Klasse PNP . Die Klasse P hat mehreNP re a¨ quivalente Charakterisierungen (siehe [Wag90]). So stimmt P zum Beispiel mit der Klasse PNP[log] u¨ berein, die alle Probleme enth¨alt, die mittels logarithmisch vieler (adaptiver) Turing-Fragen an ein NP-Orakel in polynomialer Zeit gel¨ost werden k¨onnen. Aus NP der Definition von PNP folgt unmittelbar, daß P zwischen der ersten und zweiten Stufe NP der Polynomialzeithierarchie liegt, d.h. NP ∪ coNP ⊆ PNP . ⊆P Wie zeigt man nun, daß ein Problem PNP -hart ist? Wagner [Wag87] formulierte ein sehr NP n¨utzliches Kriterium f¨ur die P -H¨arte. Dieses Kriterium wurde in einer Vielzahl von ¨ Arbeiten angewandt, siehe Uberblicksartikel [HHR97b]. In Kapitel 3 der Dissertation geben wir einen alternativen Zugang zum Nachweis von arte an. Ausgangspunkt ist eine Charakterisierung der Klasse PNP mit Hilfe nichtPNP -H¨ deterministischer Turingmaschinen mit einem speziellen Akzeptierungstyp, der auf eine Arbeit von Krentel [Kre88] zur¨uckgeht. Das Akzeptierungsverhalten von Turing3 Es

ist klar, daß in diesem Fall niemals ein “nein” nach einem “ja” kommt.

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maschinen l¨aßt sich leicht durch boolesche Formeln beschreiben. Wir erhalten PNP vollst¨andige Erf¨ullbarkeitsprobleme, in Analogie zu dem klassischen NP-vollst¨andigen Erf¨ullbarkeitsproblem 3SAT. Wir beweisen, daß die Erf¨ullbarkeitsprobleme MAX TRUE 3SAT COMPARE, MAX ur jeTRUE 3SAT EQUALITY und ODD MAX TRUE 3SAT vollst¨andig in PNP sind. F¨ de boolesche Formel F in 3-CNF-Form bezeichne max- (F ) die maximale Anzahl von zu true gesetzten Variablen, die wir in einer erf¨ullenden Belegung von F finden k¨onnen. Dann ist MAX TRUE 3SAT COMPARE folgendermaßen definiert. MAX TRUE 3SAT COMPARE Instanz: 3-CNF-Formeln F1 und F2 . Frage: Gilt max- (F1 ) ≤ max- (F2 )? Das Problem MAX TRUE 3SAT EQUALITY ist analog definiert mit der Frage “max- (F1 ) = max- (F2 )?”. Beim Problem ODD MAX TRUE 3SAT haben wir als Eingabe eine 3-CNF-Formel F , und die Frage ist, ob max- (F ) ungerade ist. Wie in der Theorie der NP-Vollst¨andigkeit eignen sich diese Probleme als Startpunkte f¨ur Reduktionen auf weitere Probleme. Wir gelangen z.B. zu einem alternativen Beweis f¨ur das Resultat von Wagner, daß das Problem Minimum Vertex Cover Compare andig ist. Dieses Entscheidungsproblem nutzen wir in der Arbeit f¨ur den NachPNP -vollst¨ NP weis der P -Vollst¨andigkeit von weiteren Problemen. Die verwendete Methode ist auch auf andere Komplexit¨atsklassen anwendbar. Wir zeigen von einigen verwandten Problemen, daß sie vollst¨andig in der Komplexit¨atsklasse PNP sind.

2 Komplexit¨at von Wahlsystemen In den Kapiteln 4 und 5 untersuchen wir die Komplexit¨at von mit Wahlsystemen assoziierten Problemen. Wahlsysteme sind Vorschriften nach denen aus einer Kandidatenmenge die Gewinner einer Abstimmung bestimmt werden k¨onnen. Wir untersuchen Wahlsysteme, bei denen die W¨ahler die Kandidaten (oder allgemeiner: Alternativen) nach Pr¨aferenz ordnen k¨onnen. Welche Kandidaten als Gewinner einer solchen Abstimmung festgelegt werden, h¨angt im allgemeinen vom verwendeten Wahlsystem ab. In der Literatur wurde eine Vielzahl von Wahlsystemen vorgeschlagen. Ein ber¨uhmtes Resultat von Arrow besagt, daß es kein “ideales” Wahlsystem gibt, d.h. es gibt kein Wahlsystem, das gleichzeitig alle Fairness-Eigenschaften erf¨ullt, die man von einem zufriedenstellenden Wahlsystem erwarten w¨urde. In der Dissertation betrachten wir die folgenden drei Wahlsysteme: Das YoungWahlsystem, das Dodgson-Wahlsystem und das Kemeny-Wahlsystem. Dies sind sogenannte Condorcet-Wahlsysteme. Ein Wahlsystem heißt Condorcet-Wahlsystem, falls es das Condorcet-Prinzip respektiert [Con85]. Ein Kandidat c ist ein Condorcet-Gewinner, falls er jeden anderen Kandidaten mit Mehrheitsentscheid schl¨agt, d.h., falls im paarweisen Vergleich mit jedem anderen Kandidaten eine echte Mehrheit der W¨ahler c den Vorzug

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gibt. Ein Wahlsystem respektiert das Condorcet-Prinzip, falls der Condorcet-Gewinner Wahlsieger bez¨uglich diesem Wahlsystem ist, falls er existiert.4 Ein Condorcet-Gewinner existiert aber im allgemeinen nicht. Wir geben eine informale Beschreibung der in der Dissertation behandelten Wahlsysteme. Das Dodgson-Wahlsystem wurde von Charles L. Dodgson (bekannter unter seinem Pseudonym Lewis Carroll) vorgeschlagen [Dod76]. Die Gewinner werden folgendermaßen aus den Pr¨aferenzordnungen der W¨ahler bestimmt. Jedem Kandidaten c wird eine Zahl zugeordnet (der DodgsonScore von c), welche die kleinste Zahl von aufeinanderfolgenden Vertauschungen benachbarter Kandidaten in den W¨ahlerpr¨aferenzordnungen ist, die erforderlich ist, um c zum Condorcet-Gewinner zu machen. Dodgson-Gewinner ist jeder Kandidat mit minimalem DodgsonScore. Das Young-Wahlsystem [You77] basiert ebenfalls auf Ver¨anderungen in den W¨ahlerpr¨aferenzordnungen. Im Gegensatz zum Dodgson-Wahlsystem erweitert das Young-Wahlsystem das Condorcet-Prinzip dadurch, daß f¨ur jeden Kandidaten c die kleinste Zahl von W¨ahlerpr¨aferenzordnungen (der YoungScore von c) bestimmt wird, die entfernt werden m¨ussen um c zu einem Condorcet-Gewinner zu machen. Young-Gewinner ist jeder Kandidat mit minimalem YoungScore. Kemeny [Kem59] schlug ein Wahlsystem vor, das auf dem Begriff des Konsensrankings beruht. Ein Konsensranking ist eine Pr¨aferenzordnung, die den Pr¨aferenzordnungen der W¨ahler insgesamt am n¨achsten liegt. Die Kemeny-Gewinner sind diejenigen Kandidaten, die an erster Stelle in einem Konsensranking stehen. Als Distanz zwischen zwei gegebenen Pr¨aferenzordnungen nimmt man hierbei die Anzahl der ungeordnenten Kandidatenpaare, deren Reihenfolge in den beiden Pr¨aferenzordnungen unterschiedlich ist. Die Untersuchung von Wahlsystemen unter komplexit¨atstheoretischen Aspekten wurde von Bartholdi, Tovey und Trick [BTT89] initiiert. Sie zeigten insbesondere, daß die Gewinner-Probleme des Dodgson- und des Kemeny-Wahlsystems NP-hart sind. Sie ließen offen, ob diese Probleme auch NP-vollst¨andig sind. Hemaspaandra, Hemaspaandra und Rothe [HHR97a] beantworteten diese Frage f¨ur das Dodgson-Wahlsystem indem andigkeitsresultat sie das Resultat von Bartholdi, Tovey und Trick zu einem PNP -Vollst¨ verbesserten, denn aus diesem Vollst¨andigkeitsresultat folgt, daß das Gewinner-Problem = NP. In der Disf¨ur das Dodgson-Wahlsystem nicht in NP liegt, außer es gilt PNP sertation werden diese Untersuchungen fortgef¨uhrt. In Kapitel 4 beweisen wir, daß das Gewinner-Problem f¨ur das Young-Wahlsystem PNP -hart ist. Dazu geben wir eine Reduktion von dem Problem Maximum Set Packing Compare an. Die PNP arte -H¨ von Maximum Set Packing Compare wiederum l¨aßt sich leicht durch Reduktion vom oben erw¨ahnten Problem Minimum Vertex Cover Compare zeigen. Außerdem untersuchen wir eine homogene Variante des Dodgson-Wahlsystems. Basierend auf ein ganzzahliges lineares Programm von Bartholdi et al. [BTT89] geben wir ein lineares Programm an, mit dessen Hilfe sich das Gewinner-Problem f¨ur diese Variante des Dodgson-Wahlsystems effizient l¨osen l¨aßt. Bartholdi et al. [BTT89] bewiesen, daß das Gewinner-Problem f¨ur das KemenyWahlsystem NP-hart ist. Sie gaben dazu eine Reduktion vom klassischen NP4 Condorcet-Gewinner

sind eindeutig bestimmt, falls sie existieren.

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vollst¨andigen Problem Feedback Arc Set an. Im Kapitel 5 verbessern wir dieses NPH¨arteresultat zu einem PNP andigkeitsresultat. Dazu definieren wir die Probleme -Vollst¨ Feedback Arc Set Member und Vertex Cover Member und beweisen, daß andig sind durch Reduktion vom Problem Minimum Vertex Cover sie PNP -vollst¨ Compare. Wir modifizieren die von Bartholdi et al. angegebene Reduktion, so daß sie eine Reduktion von Feedback Arc Set Member auf Kemeny Winner wird. Es stellt sich nun die Frage, warum diese Wahlsysteme ausgerechnet vollst¨andig f¨ur die Klasse PNP sind. Die oben betrachteten Wahlsysteme haben gemein, daß sie jedem Kandidaten einen Score zuordnen und die Kandidaten mit kleinstem Score gewinnen. Die Berechnung der Scores stellt in allen drei F¨allen ein NP-hartes kombinatorisches Optimierungsproblem dar. Wir wissen, daß “Vergleichsversionen” von NP-harten Optimierungsproblemen (wie zum Beispiel Minimum Vertex Cover Compare) oft PNP vollst¨andig sind. Dies gibt uns einen ersten Hinweis darauf, daß diese Wahlsystemprobleandig sein k¨onnten.5 Ob sie es wirklich sind, muß allerdings jeweils indivime PNP -vollst¨ duell u¨ berpr¨uft werden.

3 Zwei Heuristiken fur ¨ das Knotenuberdeckungsproblem ¨ In Kapitel 6 untersuchen wir Heuristiken zur Bestimmung einer kleinsten Knoten¨uberdeckung eines gegebenen Graphen. Die zwei bekanntesten Heuristiken f¨ur dieses Problem sind die die Edge-Deletion-Heuristik und die Maximum-Degree-GreedyHeuristic (siehe zum Beispiel [PS82, Pap94]). F¨ur beide Heuristiken untersuchen wir das Problem, f¨ur einen gegebenen Graphen festzustellen, ob die minimale von dieser Heuristik gefundene Knoten¨uberdeckung h¨ochstens r-mal so groß ist wie die kleinste Knoten¨uberdeckung. Wir beweisen, daß dieses Problem jeweils vollst¨andig ist in PNP , falls arte r ∈ [1, 2) rational ist. Wie in den vorangegangenen Kapiteln beweisen wir die PNP -H¨ durch Reduktion von Minimum Vertex Cover Compare. Ein analoges Problem f¨ur Independent Set wurde fr¨uher von Bodlaender, Thilikos und Yamazaki [BTY97] untersucht und von Hemaspaandra und Rothe [HR98] als PNP ¨ vollst¨andig klassifiziert (siehe auch den Uberblicksartikel von E. Hemaspaandra, L. Hemaspaandra und Rothe [HHR97b]).

4 Separation von Z¨ahlklassen In Kapitel 7 untersuchen wir Komplexit¨atsklassen, die sich durch Z¨ahlen der akzeptierenden und ablehnenden Berechnungspfade von nichtdeterministischen Polynomialzeitturingmaschinen (NPTM) definieren. Valiant [Val79] f¨uhrte die ber¨uhmte Klasse #P ein. Dies ist die Klasse aller Funktionen, die sich durch die Anzahl der akzeptierenden Pfade einer NPTM definieren lassen. Er bewies f¨ur verschiedene nat¨urliche Probleme, daß 5 Es

ist jeweils leicht zu sehen, daß die Probleme in PNP liegen. 

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sie vollst¨andig in der Klasse #P sind, darunter zum Beispiel das Problem, die Permanente einer 0-1-Matrix zu bestimmen. Fenner, Fortnow und Kurtz [FFK94] verallgemeinerten #P zu GapP und entwickelten eine Theorie der gap-definierbaren Z¨ahlklassen.6 Die Klasse GapP ist die Menge aller Funktionen, die sich definieren lassen als Differenz (“gap”) der Anzahl der akzeptierenden und ablehnenden Pfade einer NPTM. Viele prominente Z¨ahlklassen, darunter PP, ⊕P und C= P, k¨onnen bequem durch GapPFunktionen charakterisiert werden. Fenner et al. definierten die neuen Komplexit¨atsklassen SPP, LWPP und WPP.7 Die Klasse SPP ist das “gap-Analogon” der bekannten Klasse UP: W¨ahrend UP mit Hilfe von #P-Funktionen definiert wird, wird SPP mit Hilfe von GapP-Funktionen definiert. Da jede #P-Funktion auch eine GapP-Funktion ist, gilt trivialerweise UP ⊆ SPP. Die Klasse SPP ent¨alt als wichtiges nat¨urliches Problem das Graphisomorphie-Problem [AK02]. Arvind und Vinodchandran [AV97] und Vinodchandran [Vin04] zeigten, daß viele gruppentheoretische Berechnungsprobleme in SPP oder LWPP liegen. Fenner, Fortnow und Kurtz [FFK94] f¨uhrten den Begriff der gap-Definierbarkeit ein. Definition 1 ([FFK94]) Eine Klasse C ist gap-definierbar, falls es disjunkte Mengen A, R ⊆ Σ∗ × gibt, so daß f¨ur jedes L ⊆ Σ∗ folgendes gilt: L ∈ C gdw. es gibt eine NPTM N , so daß f¨ur alle x ∈ Σ∗ x ∈ L =⇒ (x, gapN (x)) ∈ A und x ∈ L =⇒ (x, gapN (x)) ∈ R. Hier bezeichnet gapN (x) die Differenz zwischen der Anzahl der akzeptierenden Pfade und der Anzahl der ablehnenden Pfade von NPTM N bei Eingabe x. Fenner et al. [FFK94] bemerkten, daß es zwei verschiedene plausible M¨oglichkeiten gibt, diese Definition zu relativieren. Entsprechend schlugen sie zwei verschiedene Varianten von gap-Definierbarkeit vor: uniforme und nichtuniforme gap-Definierbarkeit. Eine relativierbare Klasse ist uniform gap-definierbar, falls sie in jeder relativierten Welt gap-definierbar ist, wobei die Wahl von A und R fixiert und unabh¨angig vom Orakel ist. Eine relativierbare Klasse ist nichtuniform gap-definierbar, falls sie in jeder relativierten Welt gap-definierbar ist, wobei die Wahl von A und R vom Orakel abh¨angig sein kann. Jede uniform gap-definierbare Klasse ist offensichtlich auch nichtuniform gap-definierbar. Beispiele f¨ur uniform gapdefinierbare Z¨ahlklassen sind PP, C= P, ⊕P und SPP. Fenner et al. [FFK94] zeigten, daß LWPP und WPP nichtuniform gap-definierbar sind, ließen aber explizit offen, ob diese Klassen außerdem uniform gap-definierbar sind. Fenner et al. bewiesen, daß SPP low f¨ur GapP ist. (Eine Klasse D ist low f¨ur eine Klasse C falls C D ⊆ C gilt.) Daraus folgt unmittelbar, daß SPP low f¨ur jede uniform gapdefinierbare Z¨ahlklasse ist. Wir zeigen, daß es eine relativierte Welt gibt, in der UP ∩ coUP (und demzufolge auch SPP) weder f¨ur LWPP noch f¨ur WPP low ist. Demzufolge sind LWPP und WPP nicht [Gup95] definierte unabh¨angig dieselbe Klasse unter dem Namen Z#P. wurde unabh¨angig eingef¨uhrt von Gupta [Gup95] als ZUP und von Ogiwara und Hemachandra [OH93] als XP. Die erste SPP-Machine ist implizit in einer Arbeit von K¨obler, Sch¨oning, Toda und Tor´an [KSTT92]. 6 Gupta 7 SPP

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uniform gap-definierbar. Dies beantwortet die oben erw¨ahnte Frage von Fenner, Fortnow und Kurtz. Zur Konstruktion dieser relativierten Welt machen wir Gebrauch von der wohlbekannten Technik, bei der Orakel-Turingmaschinen in multilineare Polynome mit kleinem Grad kodiert werden. Wir beweisen dazu eine neue kombinatorische Eigenschaft solcher Polynome. Mit einer a¨ hnlichen Beweistechnik zeigen wir, daß es ein Orakel gibt, relativ zu dem WPP nicht abgeschlossen unter polynomialzeitbeschr¨ankter Turingreduzierbarkeit ist. Dies beantwortet eine andere Frage von Fenner et al. [FFK94]: Die a¨ hnlich definierten Klassen LWPP und WPP sind in geeigneter Relativierung verschieden.

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Theoretical Computer

Holger Spakowski studierte von 1994 bis 1999 Informatik an der Friedrich-SchillerUniversit¨at Jena. Von 1999 bis 2000 war er am Institut f¨ur Mathematik und Informatik der Ernst-Moritz-Arndt-Universit¨at Greifswald als wissenschaftlicher Mitarbeiter besch¨aftigt. Seit 2000 ist er wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut f¨ur Informatik der HeinrichHeine-Universit¨at D¨usseldorf, wo er im Juli 2005 promovierte. Von 2002 bis 2003 war er mit einem Stipendium des DAAD “Visiting Scholar” am Department of Computer Science der University of Rochester, USA.