www.ck12.org

Chapter 2. Derivatives, Solution Key

2.4 Derivatives of Trigonometric Functions 1. y = x sin x + 2 d d d y0 = x [sin x] + sin x [x] + [2] dx dx dx = x cos x + sin x × 1 + 0 = x cos x + sin x 2. y = x2 cos x − x tan x − 1   d  2 d d d d [cos x] + cos x x − x [tan x] + tan x [x] + [−1] dx dx dx dx dx
= x2 (− sin x) + cos x × (2x) − x sec2 x + tan x × (1) − 0

y0 = x2

= −x2 sin x + 2x cos x − x sec2 x − tan x 3. y = sin2 x = sin x sin x d d y0 = sin x [sin x] + sin x [sin x] dx dx = sin x cos x + sin x cos x = 2 sin x cos x 4. y= y0 = = = = =

sin x − 1 sin x + 1 d d (sin x + 1) dx (sin x − 1) − (sin x − 1) dx (sin x + 1) (sin x + 1)2 (sin x + 1) (cos x) − (sin x − 1) (cos x) (sin x + 1)2 sin x cos x + cos x − (sin x cos x − cos x) (sin x + 1)2 sin x cos x + cos x − sin x cos x + cos x (sin x + 1)2 2 cos x (sin x + 1)2 51

2.4. Derivatives of Trigonometric Functions

www.ck12.org

5. y= y0 = = = = = = =

cos x + sin x cos x − sin x d d (cos x − sin x) dx (cos x + sin x) − (cos x + sin x) dx (cos x − sin x) (cos x − sin x)2 (cos x − sin x) (− sin x + cos x) − [(cos x + sin x) (− sin x − cos x)] (cos x − sin x)2 − cos x sin x + cos2 x + sin2 x − cos x sin x − − cos x sin x − cos2 x − sin2 x − cos x sin x (cos x − sin x)2
−2 cos sin x + 1 − −2 cos x sin x − cos2 x − sin2 x (cos x − sin x)2 −2 cos x sin x + 1 + 2 cos x sin x + cos2 x + sin2 x (cos x − sin x)2 −2 cos x sin x + 1 + 2 cos x sin x + 1 (cos x − sin)2 2

(cos x − sin x)2 2 = 2 cos x − 2 cos x sin x + sin2 x 2 = 1 − 2 cos x sin x 6.

√ x +2 y= tan x 1 x2 = +2 tan x  1  1 d d (tan x) dx x 2 − x 2 dx (tan x) 0 +0 y = (tan x)2    1 1 (tan x) 12 x− 2 − x 2 sec2 x = 2  tan  x  1 1 x 2 sec2 x (tan x) 12 x− 2 − = 2 tan2 x √ tan x 1 x = √ − 2 x tan x cos2 x × sin22 x cos x √ cot x x = √ − 2 2 x sin x cot x √ = √ − x csc2 x 2 x

7. y = csc x sin x + x = 1+x 0

y = 0+1 = 1 52




www.ck12.org

Chapter 2. Derivatives, Solution Key

8. sec x csc x sin x = cos x = tan x

y=

y0 = sec2 x 9. y = csc x y0 = − csc x cot x d d y00 = cot x (− csc x) − (− csc x) (cot x) dx dx
= cot x (− csc x cot x) + csc x − csc2 x π π   π  π y00 = cot2 × − csc − csc3 6 6 6 6  √ 2 3 3 (− (−2)) − (−2) = = 3 (2) − (−8) = 6+8 = 14 10. cos (x + h) − cos x d [cos x] = lim h→0 dx h cos x cos h − sin x sin h − cos x = lim h→0 h   cos x cos h − cos x sin x sin h − = lim h→0 h h   sin h cos x (cos h − 1) = lim − sin x h→0 h h     (cos h − 1) sin h = cos x lim − sin x lim h→0 h→0 h h = cos x × 0 − sin x × 1 = − sin x

53