3) Dados los vectores: V1 = a1 i + b1 j + c1 k, y V2 = a2 i + b2 j + c2 k a) completar la siguiente tabla: i•i=1 i•j=0 i•k=0 i×i=0 i×j=k

i×k=-j

j•i=0

j•j=1

j•j=0

j×i=-k

j×j=0

j×k=i

k•i=0

k•j=0

k•k=1

k×i=j

k×j=-i

k×k=0

b) considerando los resultados de la tabla anterior deducir para V1 y V2 las expresiones de su producto escalar y su producto vectorial. Producto escalar: V1 • V2 = (a1 i + b1 j + c1 k) • (a2 i + b2 j + c2 k) = a1 i • a2 i + a1 i • b2 j + a1 i • c2 k + b1 j • a2 i + b1 j • b2 j + b1 j • c2 k + c1 k • a2 i + c1 k • b2 j + c1 k • c2 k = = a1 a2 i • i + a1 b2 i • j + a1 c2 i • k + b1 a2 j • i + b1 b2 j • j + b1 c2 j • k + c1 a2 k • i + c1 b2 k • j + c1 c2 k • k = a1

a 2 + b 1 b 2 + c 1 c2

(los subrayados son 1, los demás son cero)

Producto vectorial: V1 × V2 = (a1 i + b1 j + c1 k) × (a2 i + b2 j + c2 k) = a1 i × a2 i + a1 i × b2 j + a1 i × c2 k + b1 j × a2 i + b1 j × b2 j + b1 j × c2 k + c1 k × a2 i + c1 k × b2 j + c1 k × c2 k = = a1 a2 i × i + a1 b2 i × j + a1 c2 i × k + b1 a2 j × i + b1 b2 j × j + b1 c2 j × k + c1 a2 k × i + c1 b2 k × j + c1 c2 k × k =

a1 b2 k + a1 c2 (-j) + b1 a2 (-k) +

b1 c2 i

+

= ( b1 c2 - c1 b2 ) i + ( c1 a2 - a1 c2 ) j + ( a1 b2 - b1 a2 ) k

c1 a2 j + c1 b2 (-i)

c) resolver en forma práctica dichos productos si los valores de las componentes están dados por: a1 = b2 = c2 = 2; b1 = -2; c1 = 3; a2 = -1 En el caso del producto vectorial plantear el determinante correspondiente. Se plantea la matriz con los valores y se resuelve el determinante: | i j k | | i j k | | a1 b1 c1 | = | 2 -2 3 | = (b1 c2 - c1 b2) i + (c1 a2 - a1 c2) j + (a1 b2 - b1 a2) k = (-4 - 6) i + (-3 - 4) j + (4 – 2) k | a2 b2 c2 | | -1 2 2 | = (-10)

i + (-7) j + 2 k