Estudiar sus asíntotas y ramas infinitas valorando la posición de la función respecto de ellas.

1.

f (x ) =

5 x −3

Solución. -

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {3}

5 5 5 = = Asíntota vertical. x →3 x − 3 3 − 3 0

x = 3: Lím

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 3. 5 5 5 = = = −∞ Lím − − x −3 x →3 3 − 3 0− 5 5 5 = = = +∞ + − x 3 x →3 3 − 3 0+ Lím

+

-

Horizontales: y = L: 5 5 = =0 ±∞ x → ±∞ x − 3

L = Lím

Asíntota horizontal y = 0. Posición relativa: 5  5  − 0  = Lím Lím (f (x ) − L ) = Lím  x −3 x → ± ∞ x − 3 x → ± ∞  5 5 Lím = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por debajo. −∞ x →− ∞ x − 3 5 4 Lím = = 0 + : La función se aproxima a la asíntota por encima. +∞ x →+ ∞ x − 3 x →± ∞

• •

2.

f (x ) =

2

(x − 1)2

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {1} x = 1: Lím x →1

2

(x − 1)

2

2

=

(1 − 1)

2

=

2 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. 2 2 2 2 = = = = +∞ Lím 2 2 2 + − − − x →1 (x − 1) 0 1 −1 0

(

Lím

+

x →1

-

2

(x − 1)

2

=

) ( )

2

2

=

(1 − 1) (0 ) +

2

+ 2

=

2 0+

Horizontales: y = L: L = Lím

x → ±∞

2

(x − 1)

Asíntota horizontal y = 0.

1

2

=

5 =0 +∞

= +∞

Posición relativa:   2 2 Lím (f (x ) − L ) = Lím  − 0  = Lím  x →± ∞ (x − 2 )2 x →± ∞ x →± ∞ (x − 2 )2   2 5 2 Lím = = = 0 + : La función se aproxima 2 2 x → − ∞ (x − 2 ) (− ∞ ) + ∞

•

a la asíntota por encima. 2 5 2 Lím = = = 0 + : La función se aproxima 2 + ∞ x → + ∞ (x − 2 )2 (+ ∞ ) a la asíntota por encima.

•

3.

f (x ) =

x +1 x−2

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {2} x +1 3 3 = = Asíntota vertical. 2−2 0 x →2 x − 2

x = 2: Lím

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. x +1 3 3 = = = −∞ Lím − − x−2 x →2 2 − 2 0− x +1 3 3 = = = +∞ + x →2+ x − 2 2 − 2 0+ Lím

-

Horizontales: y = L: L = Lím

x → ±∞

x +1 1 = =1 x−2 1

Asíntota horizontal y = 1. Posición relativa: 3  x +1  Lím (f (x ) − L ) = Lím  − 1 = Lím x →± ∞ x → ± ∞ x − 2  x →± ∞ x − 2 3 5 Lím = = 0 − : La función se aproxima a la −∞ x →− ∞ x − 2 asíntota por debajo. 3 5 Lím = = 0 + : La función se aproxima a la +∞ x →+ ∞ x − 2 asíntota por encima.

•

•

4.

f (x ) =

1 − 2x x −1

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {1} 1 − 2x −1 −1 = = Asíntota vertical. 1−1 0 x →1 x − 1

x = 1: Lím

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 1.

2

−1 1 − 2x = = − − x 1 x →1 1 −1 −1 1 − 2x = = Lím + + x −1 x →1 1 −1 Lím

−

-

−1 0− −1 0+

= +∞ = −∞

Horizontales: y = L: 1 − 2 x −2 = = −2 1 x → ±∞ x − 1

L = Lím

Asíntota horizontal y = −2. Posición relativa: −1  1 − 2x  Lím (f (x ) − L ) = Lím  − (− 2) = Lím x → ± ∞ x − 1  x →± ∞ x − 1 −1 −1 Lím = = 0 + : La función se aproxima a la asíntota por x →− ∞ x − 1 − ∞ encima. −1 −1 Lím = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por x − 1 + ∞ x →+ ∞ debajo. x →± ∞

•

•

5.

f (x ) =

2x x +1

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {− 1}

−2 2x −2 = = Asíntota vertical. 0 x → −1 x + 1 − 1 + 1

x = −1: Lím

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = −1. 2x −2 −2 Lím = = = +∞ − − x +1 x → −1 −1 +1 0 − Lím

+

x → −1

-

2x −2 −2 = = = −∞ x + 1 − 1+ + 1 0 +

Horizontales: y = L: L = Lím

x → ±∞

2x 2 = =2 x +1 1

Asíntota horizontal y = 2. Posición relativa: −2  2x  Lím (f (x ) − L ) = Lím  − 2  = Lím x −1 x → ± ∞ x + 1 x → ± ∞  −2 −2 Lím = = 0 + : La función se aproxima a la asíntota por x →− ∞ x − 1 − ∞ encima. −2 −2 Lím = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por x →+ ∞ x − 1 + ∞ debajo. x →± ∞

•

•

3

6.

f (x ) =

x 2 −1 x

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {0} x 2 −1 0 2 −1 1 = = Asíntota vertical. x 0 0 x →0

x = 0: Lím

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 0. x 2 −1 0 2 −1 −1 Lím = = = +∞ x x →0 − 0− 0− Lím

x →0 +

-

x 2 −1 0 2 −1 −1 = = = −∞ x 0+ 0+

Horizontales: y = L:

1 1 ∞ x− ±∞− x 2 −1 ∞ ± ∞ = ± ∞ − 0 = ±∞ x L = Lím = Lím = x ÷ x x →± ∞ 1 1 1 x →± ∞ La función no tiene asíntotas horizontales -

Oblicuas: y = mx + n

1 1 x 2 −1 1− ∞ 1− 2 2 ∞ (± ∞)2 = 1 + 0 = 1 f (x ) x = x = Lím x − 1 = Lím m = Lím = Lím 1 x 1 1 x →± ∞ x x →± ∞ x →± ∞ x 2 ÷x 2 x →± ∞ 2  x 2 −1  x −1− x ⋅ x −1 −1 − 1 ⋅ x  = Lím n = Lím (f (x ) − mx ) = Lím  = Lím = =0   x ±∞ x →± ∞ x →± ∞ x →± ∞ x  x  x →± ∞ Asíntota oblicua: y = x

Posición relativa.

•

•

 x 2 −1  x 2 −1− x ⋅ x −1 Lím (f (x ) − (mx + n )) = Lím  − x  = Lím = Lím   x x →± ∞ x →± ∞ x →± ∞ x  x  x →± ∞ −1 −1 Lím = = 0 + La función se aproxima a la asíntota por −∞ x → −∞ x encima. −1 −1 Lím = = 0 − La función se aproxima a la asíntota por x + ∞ x → +∞ debajo.

Otra forma:

4

7.

f (x ) =

4x 2

x −4

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {± 2} x = −2: Lím

x → −2

4x 2

x −4

=

4 ⋅ (−2 )

(− 2)

2

−4

=

−8 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 0. 4 ⋅ (−2) 4x −8 −8 Lím = = = = −∞ − − − (x + 2 ) ⋅ (x − 2 ) x → −2 − 2 + 2 ⋅ (− 2 − 2) 0 ⋅ (− 4) 0 +

(

4x

Lím

x → −2

+

(x + 2)⋅ (x − 2) x = 2: Lím

x →2

=

)

(− 2

4x 2

x −4

4 ⋅ (−2)

+

=

)

+ 2 ⋅ (− 2 − 2 ) 4⋅2 2

2 −4

=

=

−8 0 ⋅ (− 4) +

=

−8 0−

= +∞

8 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. 4x 4⋅2 8 8 Lím = = = = −∞ − − − (x + 2 ) ⋅ (x − 2 ) x →2 (2 + 2) ⋅ 2 − 2 4 ⋅ 0 0 −

(

Lím

x →2

-

+

4x

)

4⋅2

(x + 2)⋅ (x − 2) (2 + 2) ⋅ (2 + − 2) =

=

8 4⋅0

+

=

8 0+

= +∞

Horizontales: y = L: L = Lím

x →± ∞

4x 2

x −4

∞

4 x

∞

= Lím

÷ x 2 x →± ∞

1−

4 x2

= 1−

4 ±∞ 4

(± ∞ )2

=

0 0 = =0 1− 0 1

Asíntota horizontal y = 0. Posición relativa.

• • -

 4x  4x 4x 4 − 0  = Lím ≈ Lím = Lím Lím (f (x ) − L ) = Lím  2 2 2 x →± ∞ x → ± ∞ x − 4 x →± ∞ x  x → ± ∞ x − 4 x →± ∞ x 4 4 Lím = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por debajo. x − ∞ x →− ∞ 4 4 Lím = = 0 + : La función se aproxima a la asíntota por encima. +∞ x →+ ∞ x

Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ± ∞, no tiene oblicua.

5

8.

f (x ) =

x2 x −3

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k 0 . D[f (x )] = R − {3}

x2 32 9 = = Asíntota vertical. 0 0 x →3 x − 3 Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 3. x2 32 9 Lím = = = −∞ − − x −3 x →3 3 − 3 0−

x = 3: Lím

x2 32 9 = = = +∞ + + x −3 x →3 3 − 3 0+ Lím

-

Horizontal: y = L: ∞

x2 ∞ = Lím L = Lím x →± ∞ x − 3 ÷ x x →± ∞

-

x 1−

3 x

=

±∞ ±∞ = = ±∞ 3 1− 0 1− ±∞

La función no tiene asíntotas horizontales Oblicua: y = mx + n

x2 ∞ ∞ x2 1 f (x ) 1 1 x 3 − m = Lím = Lím = Lím = Lím = = =1 3 3 1− 0 x →± ∞ x x →± ∞ x x →± ∞ x 2 − 3x ÷x 2 x →± ∞ 1− 1− x ±∞ ∞

 x2  x 2 − x ⋅ (x − 3) 3x ∞ = Lím = − 1 ⋅ x  = Lím n = Lím (f (x ) − mx ) = Lím   x →± ∞ x −3 x →± ∞ x → ± ∞ x − 3 x →± ∞ x − 3 ÷ x   3 3 3 = Lím = = =3 3 3 1− 0 x →± ∞ 1− 1− x ±∞ Asíntota oblicua: y = x + 3 Posición relativa.  x2  x 2 − (x − 3) ⋅ (x + 3) 9 − (x + 3) = Lím Lím (f (x ) − (mx + n )) = Lím  = Lím   x −3 x →± ∞ x →± ∞ x − 3 x →± ∞ x − 3   x →± ∞ 9 9 Lím = = 0 − La función se aproxima a la • −∞ −3 x → −∞ x − 3 asíntota por debajo. 9 9 Lím = = 0 + La función se aproxima a la • +∞ −3 x → +∞ x − 3 asíntota por encima.

Otra forma:

6

9.

f (x ) =

x2 x 2 +1

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R La función no tiene asíntotas verticales.

-

Horizontales: y = L: x2

L = Lím

x →± ∞

x

2

∞

∞

1

= Lím

+ 1 ÷x 2 x →± ∞

1+

1

=

1

1+

x2

1

(± ∞ )2

=

1 =1 1+ 0

Asíntota horizontal y = 1. Posición relativa.

• •

-

(

)

 x2  x 2 − 1⋅ x 2 + 1 −1 − 1 = Lím Lím (f (x ) − L ) = Lím  ≈ Lím 2 2  x →± ∞ → ± ∞ x →± ∞ x → ± ∞ x 2 + 1 x x +1 x +1   −1 −1 1 Lím = = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por debajo. x → − ∞ x 2 + 1 (− ∞ )2 + 1 + ∞ Lím

x →+ ∞

−1 2

x +1

=

−1

(+ ∞ )

2

+1

=

−1 = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por debajo. +∞

Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ± ∞, no tiene oblicua.

10. f (x ) =

3x

(x − 2)2

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {2} x = 2: Lím

x →2

3x

(x − 2)

2

=

3⋅ 2

(2 − 2)

2

=

6 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. 3x 3⋅ 2 6 6 = = = = +∞ Lím 2 2 2 − x → 2 (x − 2 ) 0+ 2− − 2 0−

(

Lím

x →2

+

3x

(x − 2)

2

=

(2

) ( )

3⋅ 2 +

−2

=

6

) (0 )

7

2

+ 2

=

6 0+

= +∞

-

Horizontales: y = L:

L = Lím

x →± ∞

3x

(x − 2)

2

= Lím

x →± ∞

∞

3x 2

x − 4x + 4

∞

= Lím

÷x 2 x →± ∞

3 x 4 4 1− + x x2

=

3 ±∞ 4 4 1− + ± ∞ (± ∞ )2

=

0 =0 1− 0 + 0

Asíntota horizontal y = 0. Posición relativa.

• • -

 3x  3 3x 3x − 0  = Lím ≈ Lím = Lím Lím (f (x ) − L ) = Lím  2 2 2  x →± ∞ x − 4 x + 4 x →± ∞ x x →± ∞ x →± ∞ (x − 2 ) x →± ∞ x   3 3 Lím = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por debajo. −∞ x →− ∞ x 3 3 Lím = = 0 + : La función se aproxima a la asíntota por encima. +∞ x →+ ∞ x

Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ± ∞, no tiene oblicua.

11. f (x ) =

x3 x −1

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {1} x3 13 1 = = Asíntota vertical. x →1 x − 1 1 − 1 0

x = 1: Lím

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 1. x3 13 1 = = = −∞ Lím − − x −1 x →1 1 −1 0− Lím

x →1+

-

x3 13 1 = = = +∞ + x −1 1 −1 0 +

Horizontales: y = L: ∞

(± ∞ )2 = + ∞ = +∞ x3 ∞ x2 = Lím = 1 1 1− 0 x →± ∞ x − 1 ÷ x x →± ∞ 1− 1− ±∞ x La función no tiene asíntotas horizontales L = Lím

8

-

Oblicuas: y = mx + n

x3 ∞ ∞ f (x ) x3 x ±∞ ±∞ m = Lím = Lím x − 1 = Lím = Lím = = =±∞ 2 2 1 1 x x 1 −0 x →± ∞ x →± ∞ x →± ∞ x − x ÷x x →± ∞ 1− 1− x ±∞ La función no tiene asíntota oblicua

12. f (x ) =

x2 −5 2x − 4

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {2} x 2 − 5 22 − 5 −1 Asíntota vertical. = = 2⋅2 − 4 0 x →3 2 x − 4 Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2.

x = 2: Lím

−1 x2 −5 22 − 5 −1 = = = = +∞ − − − 2 ⋅ (x − 2 ) x →2 2⋅ 2 − 2 2⋅0 0−

(

Lím

2

Lím

x →2

-

+

)

2

−1 −1 x −5 2 −5 = = = = −∞ + + 2 ⋅ (x − 2 ) 2 ⋅ 2 − 2 2 ⋅ 0 0+

(

)

Horizontales: y = L: 5 5 ∞ x− ±∞− x2 −5 ∞ ± ∞ = ± ∞ − 0 = ±∞ x L = Lím = Lím = 4 4 2−0 x →± ∞ 2 x − 4 ÷ x x →± ∞ 2− 2− ±∞ x La función no tiene asíntotas horizontales

-

Oblicuas: y = mx + n

5 5 x2 −5 1− ∞ 1− 2 2 ∞ (± ∞)2 = 1 + 0 = 1 f (x ) x −5 x = = Lím 2x − 4 = Lím = Lím m = Lím 4 4 x 2−0 2 x →± ∞ x x →± ∞ x →± ∞ 2x 2 − 4x ÷x 2 x →± ∞ 2− 3− ±∞ x ∞

 x2 −5 1  x 2 + 5 − x ⋅ (x − 2 ) 2x + 5 ∞ n = Lím (f (x ) − mx ) = Lím  = Lím − ⋅ x  = Lím =  x →± ∞ 2 ⋅ (x − 2 ) x →± ∞ x → ± ∞ 2 x − 4 2 x → ± ∞ 2 ⋅ (x − 2 ) ÷ x   5 5 2+ 2+ x = ± ∞ = 2+0 = 2 =1 = Lím 2  2 ⋅ (1 − 0) 2 x →± ∞  2  2 ⋅ 1 −  2 ⋅ 1 −   x  ±∞

Asíntota oblicua: y =

1 x+1 2

Posición relativa.  x2 −5  1  x2 −5 x + 2   −  x + 1  = Lím  Lím (f (x ) − (mx + n )) = Lím  − =    2  x →± ∞ x →± ∞ 2x − 4  2   x →± ∞ 2 ⋅ (x − 2)  x 2 − 5 − (x + 2) ⋅ (x − 2 ) −1 = Lím 2 ⋅ (x − 2) x →± ∞ x →± ∞ 2 ⋅ (x − 2 )

= Lím

9

•

•

−1 −1 −1 = = = 0 + La función se aproxima 2 ⋅ (x − 2 ) 2 ⋅ (− ∞ − 2 ) − ∞ a la asíntota por encima. −1 −1 −1 Lím = = = 0 − La función se aproxima a la ∞ x → +∞ 2 ⋅ (x − 2 ) 2 ⋅ (∞ − 2 ) asíntota por debajo. Lím

x → −∞

Otra forma:

13. f (x ) =

x3 1− x 2

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {± 1} x3

x = −1: Lím

x → −1 1 − x 2

=

(− 1)3 1 − (− 1)2

=

−1 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 1.

(− 1)3 x3 −1 −1 = = = = +∞ − − − (1 + x ) ⋅ (1 − x ) x → −1 1 + − 1 ⋅ (1 − (− 1)) 0 ⋅ 2 0 −

( ( ))

Lím

(− 1)3 −1 x3 −1 = = = = −∞ + + + (1 + x ) ⋅ (1 − x ) x → −1 1 + − 1 ⋅ (1 − (− 1)) 0 ⋅ 2 0 +

( ( ))

Lím

x3

x = 1: Lím

x →1 1 − x

2

=

13 1 −1

2

=

1 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. x3 13 1 1 Lím = = = = +∞ − + − (1 + x ) ⋅ (1 − x ) x →1 (1 + 1)⋅ 1 − 1 2⋅0 0+

(

3

)

3

x 1 1 1 = = = = −∞ + − x →1 (1 + x ) ⋅ (1 − x ) (1 + 1) ⋅ 1 − 1 2⋅0 0−

(

Lím

+

-

Horizontales: y = L: L = Lím

x3

∞

∞

= Lím

x →± ∞ 1 − x 2 ÷x 2 x →± ∞

x 1

x2 La función no tiene asíntotas horizontales

-

)

= −1

(± ∞ )3 1

(± ∞ )2

− −1

=

±∞ = ±∞ 0 −1

Oblicuas: y = mx + n x3

∞

2 ∞ f (x ) x3 1 1 1 = Lím 1 − x = Lím = Lím = = = −1 1 x 0 −1 x → ±∞ x x →−∞ x →±∞ x − x 3 ÷ x 3 x → ±∞ 1 −1 −1 x2 (± ∞ )2

m = Lím

10

1 ∞  x3   x3  ∞ x x = − (− 1) ⋅ x  = Lím  + x  = Lím = Lím n = Lím (f (x ) − mx ) = Lím   x →±∞ 1 − x 2  x →±∞ 1 − x 2 ÷ x 2 x →±∞ 1 x → ±∞ x → ±∞ 1 − x 2     −1 x2 1 0 ± ∞ = = =0 1 0 −1 −1 (± ∞ )2 Asíntota oblicua: y = − x

Posición relativa.

(

)

 x3   x3  x 3 + x ⋅ 1− x 2 = Lím (f (x ) − (mx + n )) = Lím  − (− x ) = Lím  + x  = Lím  x → ± ∞ 1 − x 2  x →± ∞ x →± ∞ x → ± ∞ 1 − x 2 1− x 2     x x 1 = Lím = Lím = Lím − 2 2 x →± ∞ 1 − x x →± ∞ − x x →± ∞ x −1 −1 Lím = = 0 + La función se aproxima a la asíntota por • −∞ x → −∞ x encima. −1 −1 = 0 − La función se aproxima a la asíntota por • Lím = ∞ x → +∞ x debajo

14. f (x ) =

x2 x2 + x

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {0, − 1} x2

x = −1: Lím

x → −1 x 2

=

+x

(− 1)2 = 1 (− 1)2 + (− 1) 0

Asíntota vertical.

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. Lím

(− 1)2 = 1 = 1 = +∞ x2 = x ⋅ (x + 1) − 1 ⋅ − 1− + 1 − 1 ⋅ 0 − 0 +

Lím

(− 1) x 1 1 = = = = −∞ + + x ⋅ (x + 1) − 1 ⋅ − 1 + 1 − 1 ⋅ 0 0−

x → −1−

(

2

x → −1+

(

0

)

x2 x 0 = Lím = =0 x →0 x 2 + x Factorizar x →0 x ⋅ (x + 1) x →0 x + 1 0 + 1

x = 0: Lím

x2

)

2

0

=

Lím

En x = 0, la función presenta una discontinuidad evitable. No hay asíntota vertical. -

Horizontales: y = L: L = Lím

x →± ∞

x2 2

x +x

∞

∞

= Lím

÷ x 2 x →± ∞

1 1 1+ x

Asíntota horizontal y = 1.

11

=

1 1 1+ ±∞

=

1 =1 1± 0

Posición relativa.

•

•

 x2  −x −x −1 Lím (f (x ) − L ) = Lím  − 1 = Lím ≈ Lím = Lím 2 2 2  x →± ∞ x + x x →± ∞ x x →± ∞ x → ± ∞ x + x x →± ∞ x   −1 −1 Lím = = 0 + : La función se aproxima a la −∞ x →− ∞ x asíntota por encima. −1 −1 = 0 − : La función se aproxima a la Lím = +∞ x →+ ∞ x asíntota por debajo.

Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ± ∞, no tiene oblicua.

-

15. f (x ) =

(x + 1)2 x 2 +1

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R La función no tiene asíntotas verticales.

-

Horizontales: y = L: L = Lím

x →± ∞

(x + 1)

2

2

x +1

∞

2

x + 2x + 1 ∞ = Lím x →± ∞ x 2 + 1 ÷ x 2 x →± ∞

= Lím

2 1 2 1 1+ + + ± ∞ (± ∞ )2 1 + 0 + 0 x x2 = = =1 1 1 1+ 0 1+ 1+ x2 (± ∞ )2

1+

Asíntota horizontal y = 2. Posición relativa.

• •

-

(

)

 2x 2 + 1  2x 2 + 1 − 2 ⋅ x 2 + 1 −1 Lím (f (x ) − L ) = Lím  − 2  = Lím ≈ Lím 2 2  x →± ∞ → ± ∞ x →± ∞ x → ± ∞ x 2 + 1 x x +1 x +1   −1 −1 −1 Lím = = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por debajo. x → − ∞ x 2 + 1 (− ∞ )2 + 1 + ∞ Lím

−1

=

−1

=

−1 = 0 − : La función se +∞

x + 1 (+ ∞ ) + 1 aproxima a la asíntota por debajo. x →+ ∞

2

2

Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ± ∞, no tiene oblicua.

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